REGRESION LINEAL

REGRESION LINEAL

La forma de la función f en principio podría ser arbitraria, y tal vez se tenga que la relación más exacta entre las variables peso y altura definida anteriormente sea algo de la forma.

Por el momento no pretendemos encontrar relaciones tan complicadas entre variables, pues nos vamos a limitar al caso de la regresión lineal. Con este tipo de regresiones nos conformamos con encontrar relaciones funcionales de tipo lineal, es decir, buscamos cantidades a y b tales que se pueda escribir

Con el menor error posible entre e Y, o bien

De forma que sea una variable que toma valores próximos a cero.

El objeto de un análisis de regresión es investigar la relación estadística que existe entre una variable dependiente (Y) y una o más variables independientes. Para poder realizar esta investigación, se debe postular una relación funcional entre las variables. Debido a su simplicidad analítica, la forma funcional que más se utiliza en la práctica es la relación lineal. Cuando solo existe una variable independiente, esto se reduce a una línea recta:

Donde los coeficientes b0 y b1 son parámetros que definen la posición e inclinación de la recta. (Nótese que hemos usado el símbolo especial para representar el valor de Y calculado por la recta. Como veremos, el valor real de Y rara vez coincide exactamente con el valor calculado, por lo que es importante hacer esta distinción.)

El parámetro b0, conocido como la "ordenada en el origen," nos indica cuánto es Y cuando X = 0. El parámetro b1, conocido como la "pendiente," nos indica cuánto aumenta Y por cada aumento de una unidad en X. Nuestro problema consiste en obtener estimaciones de estos coeficientes a partir de una muestra de observaciones sobre las variables Y y X. En el análisis de regresión, estas estimaciones se obtienen por medio del método de mínimos cuadrados.

EJEMPLOS:

Como ejemplo, consideremos las cifras del Cuadro 1, que muestra datos mensuales de producción y costos de operación para una empresa británica de transporte de pasajeros por carretera durante los años 1949-52 (la producción se mide en términos de miles de millas-vehículo recorridas por mes, y los costos se miden en términos de miles de libras por mes). Para poder visualizar el grado de relación que existe entre las variables, como primer paso en el análisis es conveniente elaborar un diagrama de dispersión, que es una representación en un sistema de coordenadas cartesianas de los datos numéricos observados. En el diagrama resultante, en el eje X se miden las millas-vehículo recorridas, y en el eje Y se mide el costo de operación mensual. Cada punto en el diagrama muestra la pareja de datos (millas-vehículo y costos de operación) que corresponde a un mes determinado. Como era de esperarse, existe una relación positiva entre estas variables: una mayor cantidad de millas-vehículo recorridas corresponde un mayor nivel de costos de operación.

Cuadro1.

Operaciones Mensuales en

una Empresa de Transporte de Pasajeros.

Costos Millas

Totales Vehículo

(miles) (miles)

Mes Nº Y X

________________________________________

1 213.9 3147

2 212.6 3160

3 215.3 3197

4 215.3 3173

5 215.4 3292

6 228.2 3561

7 245.6 4013

8 259.9 4244

9 250.9 4159

10 234.5 3776

11 205.9 3232

12 202.7 3141

13 198.5 2928

14 195.6 3063

15 200.4 3096

16 200.1 3096

17 201.5 3158

18 213.2 3338

19 219.5 3492

20 243.7 4019

21 262.3 4394

22 252.3 4251

23 224.4 3844

24 215.3 3276

25 202.5 3184

26 200.7 3037

27 201.8 3142

28 202.1 3159

29 200.4 3139

30 209.3 3203

31 213.9 3307

32 227.0 3585

33 246.4 4073

________________________________________

Por otro lado, también se aprecia por qué este gráfico se denomina un diagrama de "dispersión": no existe una relación matemáticamente exacta entre las variables, ya que no toda la variación en el costo de operación

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