Transformación de Frecuencias- Filtros Pasivos

UNIDAD TEMATICA Nº 4 – Parte IV

1. TRANSFORMACIÓN DE FRECUENCIAS

La transformación de frecuencias permite obtener, a partir del circuito del filtro pasa bajo nor- malizado (llamado prototipo), el filtro requerido mediante la transformación de cada uno de los componentes de dicho prototipo.

Para esto, previamente es necesario obtener las características de atenuación del prototipo nor-

malizado, partiendo de las características de atenuación del filtro pedido, luego sintetizar dicho prototipo y finalmente realizar la mencionada transformación de sus componentes.

1. Transformación Pasa Alto:

1. Transformación de las características de atenuación de un filtro pasa alto normaliza- do en un filtro pasa bajo normalizado (prototipo pasa bajo).[pic 1]

Ω = ωa

S        ω[pic 2]

Fig. 42

p

Puede demostrarse que:

Si una función atenuación de un filtro pasa bajo normalizado APB (sN) puede inscribir-

se en la plantilla de la Fig. 42 b, y se sustituye en dicha función sN por

1 , se obten-

s N[pic 3]

drá una función A ( 1 ) que podrá inscribirse en la plantilla de la Fig. 42 a, y que

PA[pic 4]

N

por lo tanto corresponderá a una función de atenuación de un filtro pasa alto APA (sN). La transformación PASA BAJO a PASA ALTO se obtiene entonces mediante la trans- formación:

s        → 1 = 1 = ω p

[pic 5]

N        s[pic 6][pic 7]

N                 

ω p

Donde ω p es la pulsación de corte del filtro pasa alto.

1. Transformación de componentes del circuito: Pasa Bajo Normalizado a Pasa Alto Desnormalizado

1. Condensador

ZPB

(sN ) =

1

[pic 8]

CN ⋅ sN

s        → ωP[pic 9][pic 10]

N        s

ZPB

(ωP ) = Z

s        PA[pic 11]

(s) =

1        =        1        ⋅ s

ω           C   ⋅ω[pic 12][pic 13]

ZPA (s) = L′ ⋅ s

CN ⋅        P        N        P

s

Donde

L′ =          1         ; por lo tanto se puede deducir que:

CN  ⋅ω P

“Un condensador de un filtro prototipo pasa bajo se transforma en un inductor para un filtro pasa alto y cuyo valor será L´ ”.

L′ =          1          desnormalizado en frecuencia.[pic 14]

CN  ⋅ω P

L′ =

RC

CN  ⋅ω P[pic 15]

desnormalizado en frecuencia y en impedancia.

1. Inductor

ZPB (sN ) = LN ⋅ sN

s        → ωP[pic 16][pic 17]

N        s

ZPB

(ωP ) = Z

s[pic 18]

PA(s) = LN

· ωP

s[pic 19]

=        1

         1        ⋅ s[pic 20]

LN ⋅ωP

ZPA

(s) =

1

[pic 21]

C′ ⋅ s

Donde

C´=        1        ; por lo tanto se puede deducir que:

LN ⋅ωP

“Un inductor de un filtro prototipo pasa bajo se transforma en un capacitor pa- ra un filtro pasa alto y cuyo valor será C´ ”.

C´=        1        [pic 22]

LN ⋅ωP

desnormalizado en frecuencia.

C'=        1        

LN ⋅ωP ⋅RC

desnormalizado en frecuencia y en impedancia.

1. Resistor[pic 23]

Un resistor no es afectado por la transformación

s        → 1 por no depender de

N        s

N

la frecuencia, por lo que en el circuito pasa alto se conservará con su valor.

1. Transformación Pasa Banda (Simétrico):

1. Transformación de las características de atenuación de un filtro pasa banda simétri- co normalizado en un filtro pasa bajo normalizado (prototipo pasa bajo).

[pic 24]

B = ω2 - ω1 = Banda de Paso.

Fig. 43

0 = ω1[pic 25][pic 26]

⋅ω 2

= ω3

⋅ω 4

→ Condición de Simetría

Ω = ω4 − ω3[pic 27]

[pic 28]

S        − ω[pic 29][pic 30]

Puede demostrarse que :

Si una función atenuación de un filtro pasa bajo normalizado APB (sN) puede inscribir-

1 ⎛⎜        ω 2 ⎞⎟

[pic 31]

se en la plantilla de la Fig. 43 b, y se sustituye en dicha función sN por

⋅⎜ s +    0 ⎟ ,

B ⎝        s ⎠

se obtendrá una función

AB (s)

que podrá inscribirse en la plantilla de la Fig. 43 a, y

que por lo tanto corresponderá a una función de atenuación de un filtro pasa banda simétrico AB (s) desnormalizado en frecuencia.

La transformación PASA BAJO a PASA BANDA SIMÉTRICO se obtiene entonces

mediante la transformación:

1 ⎛⎜        ω 2 ⎞⎟

sN →

⋅⎜ s +    0 ⎟

B ⎝        s ⎠

1. Transformación de componentes del circuito: Pasa Bajo Normalizado a Pasa Banda Simétrico Desnormalizado

1. Condensador[pic 32]

Z        (s

...