Una función de interpolación

INTRODUCCIÓN

Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como datos, los cuales se muestran comúnmente por medio de una tabla de valores o se toman directamente de una función dada.

La interpolación de los datos puede hacerse mediante un polinomio, las funciones spline, una función racional o las series de Fourier entre otras posibles formas la interpolación polinomial (ajustar un polinomio a los puntos dados) es uno de los temas más importantes en métodos numéricos, ya que La mayoría de los demás modelos numéricos se basan en la interpolación polinomial. Por ejemplo, los modelos de integración numérica se obtienen integrando fórmulas de interpolación polinomial, y Los modelos de diferenciación numérica se obtienen derivando Las interpolaciones polinomiales.

DESARROLLO

Interpolación

Interpolación significa encontrar un valor intermedio entre dos o más puntos base conocidos, los cuales se pueden aproximar mediante polinomios.

Interpolación De LaGrange

La interpolación se puede expresar en varias formas alternativas que pueden transformarse entre sí. Entre estas se encuentran las series de potencias, la interpolación de LaGrange y la interpolación de Newton hacia atrás y hacia adelante. Como se verá después con más detalle, un polinomio de orden N que pasa a través de N + 1 puntos es único. Esto significa que, independientemente de la formulada interpolación, todas las interpolaciones polinomiales que se ajustan a los mismos datos son matemáticamente idénticas.

Aunque los coeficientes pueden determinarse resolviendo las ecuaciones simultáneas por medio de un programa computacional, dicho intento no es deseable por dos razones. Primera, se necesita un programa que resuelva un conjunto de ecuaciones lineales; y segunda, la solución de la computadora quizá no sea precisa. (Realmente, las potencias de x1 en la ecuación pueden ser números muy grandes, y Si es así, el efecto de los errores por redondeo será importante.) Por fortuna, existen mejores métodos para determinar una interpolación polinomial sin resolver las ecuaciones lineales. Entre éstos están la fórmula de interpolación de LaGrange y la formula de interpelación de Newton hacia adelante y hacia atrás. Para presentar la idea básica que subyace en la formula de LaGrange, considere el producto de factores dados por

V0(x) = (x - x) (x - X2) (x - xN)

Que se refiere a los N + 1 puntos dados antes. La función V0 es un polinomio de orden N de x, y se anula en x = x1, x2.....XN. Si dividimos V0 (x) entre V0 (x0), la función resultante:

[pic 1]

Toma el valor de uno para x x0, y de cero para x = x1, x = X = XN. En forma análoga, podemos escribir V1 como:

[pic 2]

Donde el numerador no incluye (x - xi) y el denominador no incluye (xi - x). La función V1 (x) es un polinomio de orden N y toma el valor de uno en x = xi y de cero en x = xj, j ≠ i. Así, si multiplicamos V0(x), V1 (x),…., Vn (x) por fo, fi,...fN, respectivamente y las sumamos, el resultado será un polinomio de orden a lo más N e igual a fi para cada i = 0 hasta i = N.

Interpolación de newton

Esta fórmula es adecuada tanto para puntos con igual separación, como para los que no tienen ese espaciamiento. Sin embargo, las desventajas de la interpolación de LaGrange son las siguientes:

• La cantidad de cálculos necesaria para una interpolación es grande.
• La interpolación para otro valor de x necesita la misma cantidad de cálculos adicionales, ya que no se pueden utilizar partes de la aplicación previa.
• Cuando el número de datos tiene que incrementar o decrementarse, no se puedan utilizar los resultados de los cálculos previos.
• La evolución del error no es fácil.

El uso de las fórmulas de interpolación de Newton salva estas dificultades.

Para escribir una interpolación de Newton para un conjunto dado de datos se tiene que desarrollar una tabla de diferencias. Una vez hecho esto, las fórmulas de interpolación que pasan por distintos conjuntos de datos consecutivos como 1 = 0,1, 2, 3; 1 = 3, 4, 5, 6oi = 2, 3, 4, etc.) Se pueden escribir con mucha facilidad. Por lo tanto, el orden de un polinomio de interpolación se puede incrementar rápidamente con datos adicionales. El error de la fórmula de interpolación de Newton también se puede estimar con comodidad. La interpolación de Newton es más adecuada que la interpolación de LaGrange para obtener otros modelos numéricos por ejemplo las aproximaciones de derivada por diferencia o para desarrollar una interpolación por medio de una serie de potencias.

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