ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MAXIMA DE UN PROYECTIL.

2

ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MAXIMA DE UN PROYECTIL

Un proyectil disparado desde el origen en t = 0 con una velocidad inicial V0. La altura máxima del

proyectil es h y su alcance horizontal es R. En el punto más alto de la trayectoria, la partícula tiene

coordenadas (R/2, Ymax).

Supóngase que un proyectil se lanza desde el origen en t = 0 con una componente VY positiva, hay

dos puntos especiales que es interesante analizar:

El máximo que tiene coordenadas (R/2, Ymax) y el punto que tiene coordenadas (R,0). La distancia R

se conoce como alcance horizontal del proyectil y Ymax es su altura máxima.

Se encuentra Ymax y R en función de V0, ө, g.

3

Al sustituir esta expresión para tMAX en la ecuación 4.13, se obtiene Ymax en función de V0, ө.

Componente de posición vertical

( ) 2

max g t

2

1

tmax - Ymax = V0Y

pero:

g

sen V0 tmax θ = 2

)

g

sen V0 ( 2

max t

θ = V0Y = V0 sen ө

Reemplazando

( ) 2

max g t

2

1

tmax - Ymax = V0Y

( )

2

g

sen V0 g 2

1 - g

sen V0 Ymax V0 sen ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ = θ θ θ

( ) ( )

2g

2 sen 2 V0 g 2

1 - g

sen V0 Ymax V0 sen θ θ θ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ =

( ) ( )

2 g

2 sen 2 V0 - g

V0 sen

Ymax V0 sen θ θ θ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ =

( ) ( )

2 g

2 sen 2 V0 - g

2 sen 2 V0 Ymax

θ θ

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

() ()

2g

2 sen 2 V0 - 2 sen 2 V0 2

Ymax θ θ =

( )

2g

2 sen 2 V0 Ymax θ = con esta ecuación se halla la altura máxima que alcanza un cuerpo.

El alcance R, es la distancia horizontal recorrida en el doble de tiempo necesario para alcanzar la

altura máxima, es decir, en el tiempo 2t1. el tiempo que demora el cuerpo en el aire se le llama tiempo

de vuelo (tVUELO)

0

( ) 2

VUELO g t

2

1

tVUELO - Y = V0Y pero: Y = 0

( ) 2

VUELO g t

2

1

- 1 t 0 = V0Y

( ) 2

VUELO g t

2

1 V0Y tVUELO = Cancelando tVUELO

( ) g tVUELO 2

1 V0Y = despejando tVUELO

g

2 V0Y tVUELO = pero: V0Y = V0 sen ө

g

sen V0 2 tVUELO

θ = Se le denomina tiempo de vuelo del proyectil

El alcance R, es la distancia horizontal recorrida

R = VX tVUELOSe puede determinar Ymax al observar que en la altura máxima VY = 0. En consecuencia, puede

usarse la ecuación 4.11 para determinar el tiempo tmax necesario para llegar a la altura máxima.

0

Ecuación 4.11 VY = V0Y – g tmax pero : V0Y = V0 sen ө

0 = V0 sen ө – g tmax

Despejando el tiempo

g tmax = V0 sen ө

g tmax = V0 sen ө

g

sen V0

max t

θ =

TVUELO = 2 tmax

V0Y

VX = V0X ө

VX = V0X

VX = V0X

g

V0 sen

g

V0 tmax

θ = = Y

V0

V0

V

V0Y

VY

VX = V0X

R = VX Tvuelo

ө

Distancia horizontal recorrida

...