Actividad 6 Modulo Razonamientos inductivos

Objetivo: Comprender el concepto de inducción practicando con problemas de inducción matemática.

Procedimiento:

1. Leímos el tema 6 “Razonamientos inductivos”.

2. El profesor asignó de tarea la actividad 6.

3. Nos reunimos en equipos y leímos los problemas.

4. En equipo comentamos nuestros puntos de vista y llegamos a una conclusión en común.

Resultados:

Primera parte

1. Es famoso el problema que Gauss resolvió con un par de multiplicaciones, cuando su maestro le pidió sumar del uno al cien. El gran niño-matemático se dio cuenta que toda la suma se daba como dos productos: el número final de la serie por el número siguiente divididos entre dos.

3. Demuestren inductivamente que esto sucede en los primeros diez números.

Es decir:

1+2 = 3 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual 3).

1+2+3=6 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual 6).

1+2+3+4= 10

1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ¿?

4. Observen lo siguiente:

Imaginen que queremos sumar del 1 al 10 y a esta suma la simbolizamos simplemente como “S”.

Entonces:

1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = S

Esto mismo podemos hacerlo al revés:

10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = S

Si sumamos las dos series, observamos que cada par de la serie suma la misma constante (11) diez veces, y todo esto será obviamente igual a 2S. Para entender esto, observen la siguiente suma término a término:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = S

10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = S

11 + 11+11+11+11+11+11+11+11+11 = 2S

RESULTADOS

Es decir que 10 (11) = 2S

O sea que 10 (11)/2=S De donde S = 55.

En resumen para sumar del 1 al 10 no tenemos que hacer todas las sumas sino simplemente estos dos productos y dividir el resultado entre dos. No resulta muy difícil pensar que para sumar “n” números simplemente tenemos que hacer el siguiente cálculo: S=n(n+1)/2.

Así que el joven Gauss, cuando su maestro le pedía sumar del 1 al 100. Simplemente multiplicó y dio con ello la respuesta correcta.

100(101)/2=5050=S

Segunda parte

10. Resuelvan en equipo el siguiente problema:¿Cuántos saludos se dan en

un grupo de 20 personas?

Primero intentamos resolver la serie, tratando de predecir los resultados; al ver que no llegamos a un resultado, intentamos por medio de un diagrama, aunque al ser 20 personas, resultaba muy extenso y confuso; finalmente nos pusimos a pensar sobre la “Suma de Gauss” y como esto nos puede ayudar a la solución de este problema.

Con base en la fórmula de la “Suma de Gauss” .

Llegamos a esta fórmula para conocer el número de saludos que se dan en un grupo de 20 personas . En donde “n” son el numero de personas que hay en el grupo.

El número de saludos que hay en un grupo de 20 personas es: 190.

11. Por medio de un diagrama, expliquen cómo se van generando los primeros 6 números de la serie. 

Por ejemplo: 



Con dos personas (un saludo)

Con tres personas (tres saludos)

Con cuatro personas (seis saludos)

Con cinco personas (diez saludos)

Con seis personas (quince saludos)

12. Descubran la regla general, y calculen el número de saludos cuando hay 20 personas.

Fórmula para calcular los saludos.

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