Analisis De Sensibilidad

EL ANALISIS DE SENSIBILIDAD

INTRODUCCIÓN

Como se dijo antes, el modelo de programación lineal de un problema es una abstracción de las condiciones reales de este, simplificadas al obtener el problema asumido.

Por eso cuando realizamos el análisis de la solución óptima de un modelo de programación lineal, damos por aceptado que los valores de los parámetros se conocen con certidumbre. Pero en la realidad no siempre se cumple que los valores sean verídicos, ya que por ejemplo las variaciones en los costos de los materiales, en la mano de obra o en el precio de un producto, ocasionan cambios en los coeficientes de la función objetivo. Así mismo las demoras en los envíos de los proveedores, las huelgas, los deterioros no previstos y otros factores imponderables generarán cambios en la disponibilidad de los recursos.

Por otra parte, en la mayoría de los problemas reales es necesario estimar parámetros tales como los coeficientes objetivo, los coeficientes del lado derecho y los coeficientes tecnológicos, con base en datos que no siempre son confiables, o hacerlo sobre “ meras conjeturas”.

Por todo lo anterior es necesario que una vez obtenida la solución optima del modelo, evaluemos la incidencia, en ella, de posibles cambios en los parámetros o en la estructura del problema.

En este capitulo veremos como basta un trabajo operativo mínimo para determinar el cambio ocasionado en la solución óptima por las variaciones mencionadas, sin que sea necesario resolver de nuevo el modelo, incorporando las variaciones realizadas . Cuando estos cambios ocurren en cantidades discretas se realiza un análisis de sensibilidad, pero cuando son continuos, se recurre a la programación paramétrica, tema que no es tratado en este capitulo.

Con un análisis de sensibilidad podemos conocer principalmente:

1. Un conjunto de soluciones óptimas para diferentes valores de los parámetros Cj, bj, aij.

2. El efecto que tienen sobre la solución optima los errores en la estimación de los parámetros.

3. Ante cual de los parámetros es más sensible la solución optima. Este conocimiento nos permite realizar los esfuerzos para evitar que ese parámetro varíe, si esta en nuestras manos hacerlo, o para tomar las prevenciones del caso cuando la variación no sea controlable.

4. Evaluar la alternativa de introducir en el problema una o mas variables de decisión, que no se consideraron en la formulación inicial.

5. Evaluar el efecto de agregar una nueva restricción al modelo, ya sea porque se omitió inicialmente a propósito, o porque olvidamos su consideración.

Enseguida vamos a estudiar cinco casos diferentes de análisis de sensibilidad, efectuando primero las deducciones y dando luego una regla practica y rápida para obtener los resultados. Para ilustrar las explicaciones utilizaremos un problema de maximizar las utilidades y se deja como ejercicio del estudiante la deducción de las relaciones para un caso de minimización.

1. CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES OBJETIVO

La variación en el coeficiente objetivo de una variable de decisión puede conducir a un cambio en la optimalidad (inmejorabilidad) de la solución optima, debido a que una variable no básica puede llegar a ser básica, y en consecuencia una variable básica pasará a convertirse en no básica.

A continuación analizaremos por separado que pasa cuando la variable cuyo coeficiente objetivo varia es no básica y cuando es básica, ya que los efectos en cada caso son diferentes.

1.1 ANALISIS DE UN CAMBIO EN EL COEFICIENTE OBJETIVO DE UNA VARIABLE NO BASICA

Recordemos que el efecto neto de cualquier variable Xj y el valor de su Zj correspondiente, se calculan con las expresiones

Ej = Cj – Zj, (1)

Zj = CBB-1aj, (2)

Vemos que la variación del Cj de una variable no básica no afecta el valor de ningún Zj, el cual esta relacionado únicamente con los coeficientes objetivo de las variables básicas, con la matriz básica y con el vector tecnológico de la misma variable no básica Xj, ninguno de los cuales estamos modificando.

Por consiguiente tampoco se afecta el valor del Ej de ninguna variable, excepto el de aquella no básica a la cual le cambiamos el coeficiente objetivo.

Efectivamente, al cambiar el coeficiente objetivo de una variable no básica Xj, desde su valor Cj a su nuevo valor Cj’, el efecto neto de Xj se calculará como

Ej’ = Cj’ – Zj, (3)

Y si tenemos un modelo cuyo objetivo es maximizar surge la posibilidad de que la variable Xj resulte con Ej’ positivo, por lo cual se afectará la inmejorabilidad de la solución óptima actual, al entrar esta variable Xj a formar parte de las variables básicas.

Entonces, al cambiar un Cj al valor Cj’, la inmejorabilidad se mantendrá mientras.

Ej’ = Cj’ – Zj < 0 , o sea mientras

Cj’ < Zj (4)

Es de esperarse que en maximización, al disminuir el Cj de una variable que no está en la solución óptima, con mayor razón no estará en ella, con lo cual la inmejorabilidad de la solución óptima no sufre modificación, por mucho que disminuya el coeficiente

En conclusión la inmejorabilidad de la solución actual se mantendrá mientras el nuevo coeficiente objetivo para la variable no básica Xj esté en el siguiente rango de valores, que llamaremos intervalo de insensibilidad de la solución óptima para el coeficiente de la variable Xj

(5)

Efectuando un análisis similar para el caso de minimización podremos concluir que la inmejorabilidad de la solución optima no varia al aumentar el coeficiente objetivo de una variable no básica ( ya que su costo aumenta y por ello la variable no deberá ser básica), pero puede variar si el nuevo efecto neto llega a ser negativo, lo cual ocurre cuando el coeficiente de la variable Xj sea inferior al Zj de la variable .

El intervalo de insensibilidad será en este caso de la forma

Zj  Cj’   (6)

Si de (1) despejamos que Zj = Cj – Ej y lo sustituimos en la expresión (4), podemos decir de otra manera que la inmejorabilidad se mantiene mientras

Cj’ < Cj – Ej , o equivalentemente cuando:

Cj’ – Cj < - Ej

Que se expresa generalmente como

∆Cj < - Ej (7)

en conclusión, si al realizar el cambio en un coeficiente objetivo se satisface la expresión (4) o equivalentemente la (7), la actual solución óptima permanece inmejorable.

¿Que hacer cuando al cambiar un coeficiente objetivo se pierde la optimalidad de la solución actual?

Cuando al cambiar el coeficiente objetivo de una variable no básica, no se cumple la condición (4) ( o su similar (6) ), se debe calcular el nuevo efecto neto de la variable , el cual en un caso de maximización será positivo, y efectuar luego el pivoteo para entrar la variable Xj a la solución básica en reemplazo de una de las variables básicas.

El valor del nuevo efecto neto se obtiene mediante la relación

Ej’ = Ej + ∆Cj, (8)

que resulta al reemplazar en (3) el valor Cj’ = Cj + ∆Cj .

Ejemplo 1: Cambio en el coeficiente objetivo de una variable no básica

Tomemos el siguiente problema, que también utilizaremos para ilustrar los restantes casos de análisis de sensibilidad.

La compañía ejemplar fabrica los artículos A, B, C, D; utilizando dos materias primas, mp1 y mp2 que se transforman mediante un proceso que consiste principalmente en dos operaciones manuales, op1 y op2.

El departamento de ingeniería industrial recopiló los datos relativos al proceso productivo y a las utilidades netas con lo cual planteó el siguiente modelo de PL, para encontrar la mezcla de producción que maximiza la utilidad total.

Maximizar utilidad = 25 XA + 30 XB + 45 XC + 35 XD

Sujeta a 2 XA + 4 XB + 6 XC + 4 XD 900

9 XA +15 XB +12 XC + 9 XD 1440

2 XA + 3 XB + 6 XC + 4 XD 420

4 XA + 2 XB + 5 XC + 2 XD 600

Con XA, XB, XC, XD 0

Utilizando el programa WINQSB para resolver el modelo se obtienen los siguientes informes:

Problema de la compañía ejemplar

Solución utilizando el winqsb

MODELO DE PL

TABLERO FINAL

REPORTE COMBINADO

TABLERO ÓPTIMO

Cj 25 30 45 35 0 0 0 0 Soluc

CB XA XB XC XD H1 H2 H3 H4 XB Básicas

0 0 1 0 0 1 0 -1 0 480 H1

35 0 -1/6 5/3 1 0 -1/9 ½ 0 50 XD

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