ANALISIS DE LA SENSIBILIDAD

1.1 INTRODUCCIÓN

Sabemos que las matemáticas son una herramienta fundamental para realizar cálculos, operaciones y obtener resultados. Por lo tanto dentro del estudio de investigación de operaciones es recurrente la utilización de este instrumento. Partiendo de un modelo matemático intervienen distintos coeficientes estos pueden estar sujetos a cambios, fluctuaciones o errores. Por ello, su conocimiento no siempre es preciso y pueden cambiar en muchas ocasiones.

Un uso común es el caso en el que hemos obtenido la solución óptima y deseamos encontrar la nueva solución primordial cuando hayan cambiado, por ejemplo, las disponibilidades de los recursos (bi), los precios ó costos unitarios por unidad (Cj), cambio en los coeficientes tecnológicos (aij), incorporación de una nueva variable (Nuevo producto Xj) y adición de una nueva restricción.

Esto es necesario para que el encargado de llevar a cabo la toma de decisiones conozca en que rango se puede mover los distintos coeficientes mencionados, manteniéndose la presente solución óptima; ello le da una ventaja competitiva frente a otro tomador de decisiones que no ha utilizado este modelo matemático.

En éste trabajo de investigación se a bordara sobre lo que es el análisis de sensibilidad sus características y la resolución de un problema presentando los argumentos pertinentes y una metodología práctica y rápida en su aplicación; así como encontrar la solución optima y brindar un panorama general del software WinQsb que facilita la obtención de resultados de una forma rápida.

Para ello se usara un ejemplo, que en el transcurso del presente trabajo se hará mención al que inicialmente encontraremos la solución óptima mediante el método de programación lineal PL y posteriormente se hará uso del citado software para su comprobación.

1.2 DEFINICIÓN

“En forma genérica, el análisis de sensibilidad busca investigar los efectos producidos por los cambios del entorno sobre el sistema. El propósito general es identificar los parámetros relativamente sensibles (es decir, aquellos que no pueden cambiarse mucho sin cambiar la solución óptima), con el fin de estimarlos con mayor precisión y seleccionar entonces una solución que siga siendo buena sobre los intervalos de valores probables de los parámetros sensibles.

Desde el punto de vista de la programación lineal, el análisis de sensibilidad, llamado también análisis paramétrico, es un método que permite investigar los efectos producidos por los cambios en los valores de los diferentes parámetros sobre la solución óptima. Es necesario no perder de vista que los cambios en la solución del primal repercuten automáticamente en la solución de su modelo dual. Por lo tanto, puede elegirse qué modelo (primal o dual) se va a utilizar para investigar los efectos, gracias a las relaciones primal-dual estudiadas en el capítulo anterior.”

El objetivo del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima). Para ciertos datos que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambie.

1.3 IMPORTANCIA

“Dado que los parámetros que se muestran en el modelo utilizan valores estimados basados en una predicción de las condiciones futuras, los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones son bastante imperfectos; por esto pueden tomar otros valores posibles. De ahí la importancia de este análisis.

El análisis de sensibilidad es una herramienta efectiva, por dos razones fundamentales.

Primera: los modelos de programación lineal son con frecuencia grandes y costosos; por lo tanto no es recomendable utilizarlos para un solo caso.

Segunda: los elementos que se dan como datos para un problema de programación lineal, la mayoría de las veces son estimaciones; por lo tanto es necesario investigar o tener en cuenta más de un conjunto de casos posibles.”

Las labores del equipo de investigación de operaciones aun no concluye o se ha realizado, sino, cuando ya se ha aplicado con éxito el método simplex o la programación lineal a fin de identificar una solución óptima para el modelo matemático. Esto quiere decir que, los valores usados en el modelo normalmente sólo son estimaciones o pronósticos basadas en una serie de predicciones futuras. Los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones a menudo son un tanto imprecisos o inconsistentes. Sin embargo, pueden representar sobreestimaciones deliberadas o esporádicas para proteger el interés de quienes los estiman.

Por tal motivo estas circunstancias que se presentan deja algunos cabos sueltos, por eso importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad para investigar el efecto sobre la solución óptima proporcionada por la programación lineal, para verificar si los parámetros sufren una variación y toman otros valores posibles.

1.4 INSTRUMENTOS PARA EL CÁLCULO DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Para resolver un problema de investigación de operaciones en donde se pida la obtención del análisis de sensibilidad se recomienda dos formas diferentes para su solución las cuales consisten en:

Si se dispone de una calculadora programable o computadora en el cual se pueda instalar algún software que calcule datos de programación lineal en este caso recomendable el WinQsb facilitaría mejor la labor del gestionador de toma de decisiones y la ventaja de utilizar los instrumentos de tecnología es que permite realizar modificaciones en valores de forma inmediata y realizar tantos cálculos se deseen para su posteriormente llegar a su análisis siempre y cuando el problema no sea extenso o complejo.

1.5 CAMBIOS EN LOS PARÁMETROS DEL MODELO

“El análisis de sensibilidad se lleva a cabo en:

Cambios en los niveles de recursos escasos.

Cambios en los coeficientes de la función objetivo (coeficientes de variables básicas y coeficientes de variable no básicas).

Cambios en los coeficientes tecnológicos (variaciones en las aij para variables básicas y no básicas).

Supresión y adición de restricciones. Adición de nuevas variables.”3

3

anual práctico d

diciones Uninorte, 2003, Pág. 149

1.5.1 CAMBIOS EN LOS NIVELES DE RECURSOS ESCASOS Bi

“La sensibilidad de la solución óptima de un problema de programación lineal se mide a través de una cota superior y una inferior para el nivel de los recursos que se modifican. En otras palabras, se busca un rango de factibilidad para el cual la solución sigue siendo óptima y solamente se vea afectada la columna de los Bi, donde aparecen los valores de las variables básicas y el valor de la función objetivo.

En forma gráfica, la variación en el nivel de recursos sirve para desplazar una línea, que representa la restricción, de manera que se reduzca o aumente la región factible.”4

Un ejemplo puede apreciarse en la siguiente gráfica:

4

anual práctico d

diciones Uninorte, 2003, Pág. 150

1.6 ANÁLISIS DE LA GRÁFICA ANTERIOR

“Suponga que BC representa l nivel de recurso bi, y que B es el punto extremo que representa la solución óptima y, además, ABCD son os puntos extremos que demarcan la región factible o conjunto convexo.

Ahora se supone que el nivel de recursos tiene un incremento ABi, el cual hace

que la línea que lo representa sea B´C´.

La solución óptima se encuentra en B´ y los puntos que siguen siendo una combinación X,Y con valores diferentes, que conllevan a un nuevo valor óptimo de la función objetivo. Si se representa una nueva suposición, pero ya no de incremento de bi sino de una disminución, o sea, -Abi, ¿Cuál sería la nueva solución?

Si se observa la gráfica, la combinación óptima X, Y anterior ya no es óptima por que los puntos óptimos factibles son o A’ o C´. Por lo anterior, hay necesidad de hallar el rango de factibilidad para poder estudiar las variaciones en la columna de cantidades, de forma que la solución inicial siga siendo óptima. Hay dos formas de proceder para establecer el rango de factibilidad:

Primera. A partir de la solución optima y tomando los valores de las variables básicas sumarle algebraicamente el coeficiente aij multiplicado por el Δ incremento, positivo o negativo, según sea aumento o disminución del nivel del recurso en estudio; luego, a estas expresiones resultantes deben ser > 0, y finalmente se establece el rango de factibilidad.

El rango de factibilidad puede utilizarse para determinar el rango de disponibilidad del recurso analizado y proceder a hallar el efecto sobre la solución óptima.

La solución óptima nueva se estima con las fórmulas 1 y 2.”5

5

anual práctico de investigación de operaciones1

diciones Uninorte, 2003, Pág. 151

El análisis de Sensibilidad también permite analizar, entre otras cosas:

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