Aplicaciones De Las Funciones En Lo Economico-administrativo

MATEMATICAS I

LIMITES

Diego Octavio García Cabrera

Mar y Jue 8-10 pm

B-301

20/03/13

LIMITE DE UNA FUNCION

¿Qué es el Límite?

La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

Función, por otra parte, es un concepto que refiere a diversas cuestiones. En este caso, nos interesa la definición de función matemática (la relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B).

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

Propiedades generales

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de Expresión

Una constante

La función identidad

El producto de una función y una constante

Una suma

Una resta

Un producto

Un cociente

Una potencia

Un logaritmo

El número e

Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal

.

¿Cómo se calcula el límite de una función?

Regla I

Para calcular el límite de una función, cuando x tiende a x0, basta con sustituir x0 en la función y si nos da un número, es decir, se pueden hacer todas las operaciones, ese es el resultado del límite.

Regla II

En una función a trozos, para calcular el límite en el punto donde se corta la función, hay que hacer los límites laterales y para ello sustituir en los trozos adecuados.

Regla III

Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o -∞, se comportan del mismo modo que su término de mayor grado:

Límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

Límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe

Límite cuando x tiende a infinito

Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se sustituyen las x por ∞.

Funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Inversa de un polinomio en el infinito

.

Límite cuando x tiende a menos infinito

Límite de la función exponencial

Si a > 0

Si 0 < a < 1

Límite de la función logarítmica

Si a > 0

Si 0 < a < 1

Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

En estas funciones, hay que tener un poco de cuidado al calcular los límites cuando x tiene a infinito. Debes recordar que:

Exponenciales

Si a>1; a+∞ = + ∞ y a-∞ = 0. Por

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