Aplicación De La Derivada En La Vida Cotidiana

Introducción

La aplicación de la derivada en la vida cotidiana se expresa en seguir los pasos de la derivada La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física.

En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En los matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico

Aplicación De La Derivada En La Vida Cotidiana

1. Es útil en la construcción de contenedores

1. En minimizar y maximizar fórmulas que nos ayuda a calcular las realizar de un objeto construido.

1. Calcular la velocidad de un objeto cuando cae a través de una rampa con un determinado

1. Sirve para comprender problemas muy complejos, ej.: resistencia de materiales
   

Derivada

Representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado; por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto.

Teoremas

Sea f una función entonces:

a) Si f''>0 entonces f es cóncava hacia arriba.

b) Si f''<0 entonces f es cóncava hacia abajo.

a) Sea f''>0; entonces f es o cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Si fuese cóncava hacia abajo se tendría por el teorema 5 que f''0 y esto es una contradicción, por tanto la única posibilidad es que sea cóncava hacia arriba.

b) Se obtiene con un razonamiento análogo al del apartado a) (realizarlo como ejercicio). c.q.d.
     Para determinar los intervalos de concavidad se realizan los siguientes pasos:

a) se obtiene la segunda derivada de f y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a cero

b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por extremos los ceros de la segunda derivada, los puntos de acumulación del dominio que no sean del dominio y los puntos donde no exista la segunda derivada

c) posteriormente se estudia el signo de la segunda derivada en cada uno de esos intervalos (en esos intervalos el signo de la segunda derivada es siempre el mismo)

d) en donde tenga signo positivo la función es cóncava hacia arriba y donde tenga signo negativo la función es cóncava hacia abajo.
Definición De Derivadas

Teorema.- Condición Suficiente para la Diferenciabilidad

 Si f es una función de variables independientes x e y con f,f x y f y continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R.

Regla de la Cadena para Funciones de dos variables

Teorema.- Regla de la Cadena: Una Variable Independiente 

Sea z = f ( x, y ) , donde f es una función diferenciable de x y de y. Si x = g (t ) e y = h(t ), siendo g y h funciones derivables de t , entonces z es una función derivable de t , y además:

dz ∂z dx ∂z dy = ⋅ + ⋅ dt ∂x dt ∂y dt

Teorema.- Regla de la Cadena: Dos Variables Independientes Sea z = f ( x, y ) , donde f es una función diferenciable de x y de y . Si x = g ( s, t ) e y = h( s, t ) de forma tal que las derivadas parciales: ∂x , ∂x , ∂y y ∂y existen todas, entonces
∂s ∂t ∂s ∂t

∂z y ∂z existen y vienen dadas por: ∂s ∂t

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = ⋅ + ⋅ ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s

y

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = ⋅ + ⋅ ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t


Derivadas Parciales de Segundo Orden

Igual que en el caso de las funciones de una sola variable, podemos determinar derivadas de segundo orden para las funciones de dos variables independientes. Para la función del tipo z = f ( x, y ) , existen cuatro derivadas de segundo orden. Estas derivadas se dividen en dos tipos: derivadas parciales puras de segundo orden y derivadas parciales mixtas. Las dos derivadas parciales puras se denotan: f xx y f yy . Las derivadas parciales de segundo orden mixtas se denotan: f xy y f yx . Como se obtienen estas derivadas parciales se indican en el siguiente esquema:


Teorema.- Igualdad de las Derivadas Parciales Mixtas

Si z = f ( x, y ) es una función de dos variables independientes, tal que f , f x , f y , f xy y f xy son continuas en una región abierta R,

entonces para cada ( x, y ) en R, se tiene que:

f xy ( x, y ) = f yx ( x, y )

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