Cálculo integral: Introducción y antiderivación

1. INTEGRAL INDEFINIDA

Hasta ahora hemos estudiado la rama del “Cálculo” llamada “Cálculo Diferencial”, ahora iniciaremos el estudio de la otra rama llamada “Cálculo Integral”.  Estamos relacionados con las “operaciones inversas como la multiplicación con la división; la suma con la resta; la potenciación y la radicación. En este contenido veremos un proceso inverso de la derivación y se llama “Antidiferenciación”.  Como la integración y diferenciación son procesos inversos, el problema consiste en encontrar una función “” cuya derivada sea “”.[pic 1][pic 2]

DEFINICION (ANTIDERIVADA O PRIMITIVA): Se dice que una función “” es una antiderivada o primitiva de una función , en un intervalo  si ,  para toda “” en el intervalo .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Ejemplos:

1. , es la diferencial de .   es la antiderivada de .[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]
2.  es la diferencial de .   es la antiderivada de [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

TEOREMA: Si una función “”es una antiderivada o primitiva de una función , en un intervalo I entonces cada antiderivada de  en el intervalo I, está dada por: [pic 17][pic 18][pic 19]

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donde  es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de  en , pueden obtenerse a partir de ella asignando valores particulares a .[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Así,      todas tienen como antiderivada a , luego escribimos: [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

La “antiderivación o antidiferenciación” es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas ó primitivas de una función dada.  El símbolo  denota la “operación de antiderivación” y se escribe:   donde  y   La expresión  recibe el nombre de “antiderivada general de .  Leibniz introdujo este símbolo. [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

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NOTACIÓN:

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TEOREMAS DE ANTIDERIVADAS

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ANTIDERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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NOTAS:

1. Dentro del Signo de Integración, se pueden conmutar los factores del integrando

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1. Por ningún motivo se puede sacar la variable de integración del signo de integración

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1. En algunos casos la integración se facilita si se efectúan previamente las operaciones indicadas (productos o cocientes de polinomios)

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1. Algunas Integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma cantidad

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Ejemplos:

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ANTIDERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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