Calculo Integral

TALLERES 1, 2, 3, 4

SERGIO SILVA OLAYA

Trabajo Presentado

Al Tutor:

WILLIAM GERMAN ORTEGÓN CARROSO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

PROGRAMA DE INGENIERÍA AMBIENTAL

GRUPO: 2

CURSO: CÁLCULO DIFERENCIAL

CEAD IBAGUÉ

2012.

Taller 1: sucesiones y progresiones

Hallar los 5 primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones

〖Un={n(n+2)/2}〗_(n≥0)

〖Un〗_1= 1(1+2)/2= 3/2

〖Un〗_2= 2(2+2)/2= 8/2=4

〖Un〗_3= 3(3+2)/2= 15/2

〖Un〗_4= 4(4+2)/2= 24/2=12

〖Un〗_5= 5(5+2)/2= 35/2

Un= {3/2,4,15/2,12,35/2,… (n.(n+2))/2}

〖Un={((n+1))/3}〗_(n≥1)

〖Un〗_1= ((1+1))/3= 2/3

〖Un〗_2= ((2+1))/3= 3/3=1

〖Un〗_3= ((3+1))/3= 4/3

〖Un〗_4= ((4+1))/3= 5/3

〖Un〗_5= ((5+1))/3= 6/3=2

Un={2/3,1,4/3,5/3,2,…(n+1)/3}

〖Un={4/(n-3)}〗_(n≥4)

〖Un〗_1= 4/(1-3)= -4/2=-2

〖Un〗_2= 4/(2-3)= -4/1=-4

〖Un〗_3= 4/(3-3)=4

〖Un〗_4= 4/(4-3)= 4/1=4

〖Un〗_5= 4/(5-3)= 4/2=2

Un={-2,-4,4,4,2,…4/(n-3)}

〖Un={(-1)^n/n}〗_(n≥1)

〖Un〗_1= (-1)^1/1= -1/1=-1

〖Un〗_2= (-1)^2/2= -1/2

〖Un〗_3= (-1)^3/3= -1/3

〖Un〗_4= (-1)^4/4= -1/4

〖Un〗_5= (-1)^5/5= -1/5

Un={-1,-1/2,-1/3,-1/4,-1/5,…-1^n/n}

Hallar el término general de cada sucesión dados los primeros términos

a. Un={1,3,5,7,…}

V_0=2*0+1=1

V_1=2*1+1=3

V_2=2*2+1=5

V_3=2*3+1=7

Un={2n+1}≥0 Término general

b. Un={3,7,11,15,…}

V_0=4*0+3=3

V_1=4*1+3=7

V_2=4*2+3=11

V_3=4*3+3=15

Un={4n+3} ≥0

c. Un={1/2,1/4,1/8,1/16,…}

V_o={1/2^n }_(n≥1)

V_1=1/2^1 =1/2

V_2=1/2^2 =1/4

V_3=1/2^3 =1/8

V_4=1/2^4 =1/16

U_n={1/2^n }_(n≥1)

Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.

a. U_o=-1; U_n=U_(n-1)-3

U_n=U_(n-1)-3

V_o=-1

V_1=U_(1-1)-3=V_o-3=-1-3=-4

V_2=U_(2-1)-3=V_1-3=-4-3=-7

V_3=U_(3-1)-3=V_2-3=-7-3=-10

V_4=U_(4-1)-3=V_3-3=-10-3=-13

Un={-1,-4,-7,-10,-13,…}

Un={3n-1}

b.

U_o=-1; U_n=U_(n-1)/3

U_(n-1)/3

V_o=-1

V_1=U_(1-1)/3=V_0/3=-1/3

V_2=U_(2-1)/3=V_1/3=((-1)/3)/(3/1)=-1/9

V_3=U_(3-1)/3=V_2/3=((-1)/9)/(3/1)=-1/27

V_4=U_(4-1)/3=V_3/3=((-1)/27)/(3/1)=-1/81

Un={-1,-1/3,-1/9,-1/27,-1/81…}

U_n={-1/3}_(n≥1)

Demostrar que W_n= {n/(2n+1)} es estrictamente creciente.

W_1= {1/(2*1+1)}=1/3

W_2= {2/(2*2+1)}=2/5

W_3= {3/(2*3+1)}=3/(7 )

W_4= {4/(2*4+1)}=4/9

Un={1/3,<2/5,<3/7,<4/9…}

Hallar la mínima cota superior de la sucesión:

U_n={(2n+1)/n}_(n≥1)

V_1=(2*1+1)/1=3/1=3

V_2=(2*2+1)/2=5/2

V_3=(2*3+1)/3=7/3

V_4=(2*4+1)/4=9/4

Un={3,5/2,7/3,9/4…}

La mínima cota superior es 3

lim┬(n→∞)⁡〖(2n+1)/n=2〗

Determinar si es acotada y hallar la cota superior e inferior:

U_n={n/(2n+1)}_(n≥1)

V_1=1/(2*1+1)=1/3

V_2=2/(2*2+1)=2/5

V_3=3/(2*3+1)=3/7

V_4=4/(2*4+1)=4/9

V_5=5/(2*5+1)=5/11

Un={1/3,2/5,3/7,4/9,5/11…}

Mínima cota superior es 0.5

Máxima cota inferior es 0.3

lim┬(n→∞)⁡〖n/(2n+1)=0.5〗

Demostrar que la sucesión U_n={n/(1-3n)} es convergente y que converge.

U_n={n/(1-3n)}

V_1=1/(1-3*1)=-1/2

V_2=2/(1-3*2)=-2/5

V_3=3/(1-3*3)=-3/8

V_4=4/(1-3*4)=-4/11

Un={-1/2,-2/5,-3/8,-4/11…}

lim┬(n→∞)⁡〖n/(1-3n)=0.3〗

Hallar el límite de las sucesiones:

a.

sn={(3n-8)/(4n-1)}

(3n/n-8/n)/(4n/n-1/n)

=3/4

b.

W_n={(n^2+1)/4}

(n^2/n^2 +1/n^2 )/(4/n^2 )

=1

Se la progresión aritmética U_n={n+2}_(n≥1) hallar:

a. los primeros 6 términos de la progresión

b. la suma de los primeros 10 términos

a.

U_n={n+2}_(n≥1)

U_1=1+2=3

U_2=2+2=4

U_3=3+2=5

U_4=4+2=6

U_5=5+2=7

U_6=6+2=8

Un={3,4,5,6,7,8…}

d=1

b. U_10=3+(10-3)*1

S=(n(U_a+U_n))/2 U_10=3+7*1

S=(10(3+U_10))/2 U_10=3+7

S=(10(3+10))/2 U_10=10

S=(10*13)/2=130/2=65

Sea la progresión aritmética Un={1,4,7,10,13…} hallar:

a. el n-ésimo término

b. la suma de los primeros 20 términos

a.

Un={1,4,7,10,13…}

U_n=1+(n-1)*3

U_n=1+3n-3

U_n=3n-2

b.

U_20=1+(20-1)*3

S=(n(U_a+U_n))/2 U_20=1+19*3

S=(20(1+U_20))/2 U_20=1+57

S=(20(1+58))/2 U_20=58

S=(20*59)/2=1180/2=590

Dada la progresión aritmética U_n={(-2)^n }_(n≥0 )hallar la suma de los 5 primeros términos.

U_1=〖(-2)〗^1=-2

U_2=〖(-2)〗^2=-4

U_3=〖(-2)〗^3=-8

U_4=〖(-2)〗^4=-16

Un={-2,-4,-8,1-16…}

q=2

S_n=(U_1 (q^n-1))/(q-1)

S_n=(-2(2^5-1))/(2-1)

S_n=(-2(32-1))/1

S_n=(-2*31)/1

S_n=-62

La canasta familiar de los asistentes de un país es de 120000 a primero de enero, si la tasa de inflación mensual es de 2,05% hallar.

a. costos de la canasta a los 3 meses del año

b. costo de la canasta a los n meses

c. cuánto gasta un empleado de nivel asistencial en un año

a.

U_1=120.000

U_2=120.000+(120.000*0.0205)=122.460

U_3=122.460+(122.460*0.0205)=124.973,324

b.

U_1=120.000

U_2=120.000+(120.000*0.0205)=122.460

U_3=122.460+(122.460*0.0205)=124.973,324

U_4=124.973,324+(124.973,324*0.0205)=127.532,324

La razón será q=1,0205 entonces

U_n=q^(n-1)*U_1=(1,0205)^(n-1)*120.000=117.589,414*〖(1,0205)〗^n

c.

U_12=177.589,417*(1,0205)^12=150.011,4282

S_n=(U_1 (q^n-1))/(q-1)

S_n=(120.000((1,0205)^12-1))/(1,0205-1)=33.086,6624/0,0205=1.613.983,532

Taller 2: Limites

Resolver los siguientes límites:

a. lim┬(x→-2)⁡((x^2-4)/(x-2))

(-4-2)/(-2-2)=8/4=2

b. lim┬(x→0)⁡((x-4)/(x+1)+2e^2x )

(0-6)/(0+1)+2e^(2(0))

-6/1+2e

-6+2=-4

c. lim┬(x→4)⁡((x^2-5x+4)/(x^2-2x-8))

(4^2-5(4)+4)/(4^2-2(4)-8)=(16-20+4)/(16-8-8)=0/0 Indeterminado

((x-4)(x-1))/((x-4)(x+2))=(x-1)/(x+2)=(4-1)/(4+2)=3/6=1/2

d. lim┬(x→-1)⁡((√(5+n)-2)/(n+1))

(√(5+(-1))-2)/(-1+1)=(√4-2)/0=2-2=0/0 Indeterminado

(√(5+n)-2)/(n+1)*(√(5+n)+2)/(√(5+n)+2)

((5+n)^2-(2)^2)/((n+1)*(√(5+n)+2) )

((5+n)-4)/((n+1)(√(5+n)+2))

(5-n-4)/(n+1)(√(5+n)+2)

(n+1)/((n+1)(√(5+n)+2) )

1/(√(5+n)+2)=1/(√(5+(-1) )+2)=1/(√4+2)=1/(2+2)=1/4

e. lim┬x1⁡〖√(x^2+3x)-√(x^2+x)〗

√4-√2

2-1,4

0,6

2. sea f(x)=ln⁡〖|x|〗 y g(x)=√(x^2+x) hallar lim┬(x→2)⁡(fog)(x)

(fog)(x)

f(g(x))

f(g(x))=ln⁡〖|x|〗

f(g(x))=ln⁡√(x^2-3)

lim┬(x→2)⁡ln⁡√(2^2-3)

lim┬(x→2)⁡ln⁡√(2^2-3) =ln⁡〖√(4-3)=ln⁡〖√1=ln⁡〖1=0〗 〗 〗

3. Resolver los siguientes límites infinitos

a. lim┬(x→∞)⁡[(〖4x〗^3-2x+1)/(〖2x〗^3+5x-9)]

lim┬(x→∞)⁡〖(〖4x〗^3/x^3 -2x/x^3 +1/x^3 )/(〖2x〗^3/x^3 +5x/x^3 -9/x^3 )〗

lim┬(x→∞)⁡〖(4-2/x^2 )/(2+5/x^2 )〗

lim┬(x→∞)⁡〖4/2〗=2

b. lim┬(x→∞)⁡[(〖4x〗^3-〖5x〗^2 8x-3)/(〖2x〗^2+8x-6)]

lim┬(x→∞)⁡〖(〖4x〗^3/x^3 -〖5x〗^2/x^3 +8x/x^3 -3/x^3 )/(〖2x〗^2/x^3 -8x/x^3 -6/x^3 )〗

lim┬(x→∞)⁡〖(4-5/x+8/x^2 )/(2/x+8/x^2 )〗

lim┬(x→∞) 4

c. lim┬(x→∞)⁡〖√x [√(x+3)-√(x+2)]〗

lim┬(x→∞)⁡〖(√x [√(x+3)-√(x+2)])/1*[√(x+3)+√(x+2)]/[√(x+3)+√(x+2)] 〗

lim┬(x→∞)⁡〖(√x (x+3-x-2))/((√(x+3)+√(x+2)) )〗

lim┬(x→∞)⁡〖(√x (3+2-x+2))/((√(x+3)+√(x+2)) )〗

...