Calculo Integral

INTRODUCCION

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones vectoriales de una variable, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por el de la parametrización de la curva sobre la cual se está integrando, la cual, conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

A continuación se desarrollan cinco ejercicios aplicando los teoremas de integración como una actividad colaborativa para poner en practica los temas de la unidad uno del curso de cálculo integral ofrecido para los estudiantes de ingeniería por parte le la Universidad Nacional Abierta y a Distancia.

DESARROLLO DEL LAS ACTIVIDADES

Si su grupo colaborativo termina en los dígitos 5 o 6 realice los

Siguientes 5 ejercicios:

11. La solución de la siguiente integral l. ∫▒〖〖3x〗^6 √2-x^7 dx 〗 es:

7/2 〖(2-x〗^7)2/3 +∁

7/2 〖(2+x〗^7)2/3 +∁

(-2)/7 〖(2-x〗^(7 )) 3/2+ ∁

7/2 〖(2-x〗^7)3/2 +∁

SOLUCIÓN

∫▒〖〖3x〗^6 √(2-x^7 ) dx 〗 = 3 ∫▒〖x^6 √(〖2- x〗^7 ) dx 〗

3∫▒〖〖7x〗^6 √(2 - x^7 dx) 〗 = 3/(-7) ∫▒〖x^6 √(〖2- x〗^7 ) dx 〗

3/(-7) (2 ((2〖-x〗^(7)3⁄2))/3

(-2)/7 〖(2-x〗^(7 )) 3/2+ ∁

12. La solución de la siguiente integral ∫▒2x x^2+4)^(3 ) dx es:

((〖 x〗^(2 )+4)^3)/3+∁

((〖 x〗^(2 )+4)^4)/4+∁

((〖 x〗^(2 )+2)^3)/3+∁

((x-2)^3)/3+∁

SOLUCIÓN

∫▒〖2x(x^2+4)^3 dx 〗 = 2∫▒〖x(x^2+4)^3 dx =〗 ((〖 x〗^(2 )+4)^4)/4+∁

13. La solución de la siguiente integral ∫▒〖√(2+9^3√x)/(∛x^2 ) dx〗 es:

( 2 )/9 (2+9∛x) □(3/2)+∁

(2+9 ∛x)□(2/3)+∁

(2+∛x)□(3/2) +∁

( 9)/2 (4+9∛x) □(2/3)+∁

SOLUCIÓN

∫▒〖√(2+9^3√x)/(∛x^2

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