Calculo Integral

ACTIVIDAD 3 SUMA DE RIEMANN

REALIZA LO QUE SE TE PIDE EN CADA PUNTO.

1.- expresa

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒[cosx_i+ x_i tan⁡〖x_i 〗 ]∆x como una integral en el intervalo [0,π]

∆x=(b-a)/n= (π-0)/n=π/n

x_i=a+i∆x=0+i(π/n)= πi/n

〖A=〗⁡∑_(i=1)^n▒〖[cosx_i+ x_i tan⁡〖x_i 〗 ]*∆x〗= ∑_(i=1)^n▒[cos⁡(πi/n)+(πi/n)tan⁡〖(πi/n)〗 ] *(π/n)

∫_0^π▒〖(cosx+ x tan⁡x ) dx〗

2.- expresa

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖[x_i^8-x_i^3+4/3]*∆x〗 como integral en el intervalo [3,9]

∆x=(b-a)/n= (9-3)/n=6/n

x_i=a+i∆x=3+i(6/n)= 3+6i/n

〖A=〗⁡∑_(i=1)^n▒〖[x_i^8-x_i^3+4/3]*∆x〗=∑_(i=1)^n▒[(3+6i/n)^8-(3+6i/n)^3+4/3 ] *6/n

A=∑_(i=1)^n▒[(3+6i/n)^8-(3+6i/n)^3+4/3 ] *6/n

∫_3^9▒(x^8-x^3+4/3)dx

3.- expresa

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖[x_i^(1/2)+ln⁡〖x_i^3 〗 ]*∆x〗 como una integral en el intervalo [0,3]

∆x=(b-a)/n= (3-0)/n=3/n

x_i=a+i∆x=0+i(3/n)= 3i/n

〖A=〗⁡∑_(i=1)^n▒〖[x_i^8-x_i^3+4/3]*∆x〗=∑_(i=1)^n▒[(3i/n)^(1/2)+ln⁡〖(3i/n)^3 〗 ]

∫_0^3▒(√x+ln⁡〖(x)〗^3 )dx

f(x)=5x-6 ,en el intervalo [2,5],b) evalúa ∫_2^5▒(5x-6)dx

∆x=(b-a)/n= (5-2)/n=3/n

x_i=a+i∆x=2+i(3/n)=2+ 3i/n

∑_(i=1)^n▒〖f(x_i )∆x=〗 ∑_(i=1)^n▒〖f(2+ 3i/n) 3/n=〗 ∑_(i=1)^n▒[5(2+ 3i/n)-6] *3/n

3/n ∑_(i=1)^n▒〖(10+15i/n〗-6)=3/n ∑_(i=1)^n▒〖(4+15i/n)= 〗 3/n(∑_(i=1)^n▒〖4 〗+ 15/n ∑_(i=1)^n▒〖i) 〗= 3/n (4n+ 15/n ((n(n+2))/2)

=3/n(4n+ 15/2 (n+2)= lim┬(n→∞)⁡〖(3/n (4n+ 15/2 (n+2))= 〗 12+ 22.5=34.5

∫_2^5▒(5x-6)dx=├ (5/2 x^2-6x)┤|_2^5= 5/2 (5)^2-6(5)-(5/2 (2)^2-6(2))=62 1/2-30-10+12

∫_2^5▒(5x-6)dx= 34.5

f(x)=x^3-7 ,en el intervalo [3,4],b) evalúa ∫_3^4▒(x^3-7)dx

∆x=(b-a)/n= (4-3)/n=1/n

x_i=a+i∆x=3+i(1/n)=3+ i/n

∑_(i=1)^n▒〖f(x_i )∆x=〗 ∑_(i=1)^n▒〖f(3+ i/n) 1/n=〗 ∑_(i=1)^n▒[(3+ i/n)^3-7] *1/n

1/n ∑_(i=1)^n▒〖(27+27i/n〗+(9i^2)/n^2 + i^3/n^3 -7)=1/n ∑_(i=1)^n▒〖█((20+ 27i/n+(9i^2)/n^2 + i^3/n^3 )= @ ) 〗

1/n(∑_(i=1)^n▒〖20 〗+ 27/n ∑_(i=1)^n▒〖i + 9/n^2 ∑_(i=1)^n▒〖i^2 + 1/n^3 ∑_(i=1)^n▒〖i^3 〗 〗) 〗=

1/n (20n+ 27/n*n(n+2)/2+ 9/n^2 *n(n+1)(2n+1)/6+ 1/n^3 *[(n(n+1))/2]^2 )

= 1/n (20n+ 27(n+2)/2+ 9(n+1)(2n+1)/6n+ 1/n^3 *[(n(n+1))/2]^2 )

=20+ 27(n+2)/2n+ (9 (n+1)(2n+1))/6n+ 1/n^4 *(n(n+1)/2)^2

=20+ (13.5n+27)/n+ (3n^2+4.5n+1.5)/n^2 + (0.25n^2+0.5n+0.25)/n^2

=lim┬(n→∞)⁡〖(20+ (13.5n+27)/n+ (3n^2+4.5n+1.5)/n^2 + (0.25n^2+0.5n+0.25)/n^2 )〗

=20+13.5+3+0.25=36.75

∫_3^4▒(x^3-7)dx=├ (x^4/4-7x)┤|_3^4= (4)^4/4-7(4)-((3)^4/4-7(3))=64-28-20.25+21

∫_3^4▒(x^3-7)dx=36.755

f(x)=2x^2+ 3x+x ,en el intervalo [-2,1],b) evalúa ∫_(-2)^1▒(2x^2+3x+x)dx

Evaluar en intervalos, puesto que la curva corta al eje en (0,0)

[-2,0] y [0,1]

∆x=(b-a)/n= (0-(-2))/n=2/n

x_i=a+i∆x=-2+i(2/n)=-2+ 2i/n

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