Calculo Integral

TAREA INTEGRADORA

I. Utilizando la regla de L’Hopital calcula los siguientes límites:

〖lim〗┬(x->1)⁡〖(x-1)/lnx〗

La regla de L´Hopital nos dice que para calcular un límite indeterminado primero debemos derivar por separado tanto el numerador como el denominador de la función.

Derivada del numerador =-1+x=1

Derivada del denominador =ln⁡(x)=1/x

lim┬(x->1)⁡〖(x-1)/lnx=〗 lim┬(x->1)⁡〖(1/1)/x=(1/1)/(x/1)=1/x=1〗

〖lim〗┬(x->o)⁡〖senx/tan2x〗

La regla de L´Hopital nos dice que para calcular un límite indeterminado primero debemos derivar por separado tanto el numerador como el denominador de la función.

Derivada del numerador =senx=cosx

Derivada del denominador = tan2x=〖2sec〗^2 (2x)

lim┬(x→o)⁡〖senx/tan2x=〗 lim┬(x→o)⁡〖cosx/(〖2sec〗^2 (2x) )=〗 cos⁡(0)/(〖2sec〗^2 (2(0) ) )=1/(〖2(sec〗^2))=1/〖2sec〗^2

〖lim〗┬(x->∞)⁡〖(〖8x〗^4+〖6x〗^3+〖3x〗^2-x+6)/(-〖2x〗^4+〖3x〗^3-〖6x〗^2+7)〗

La regla de L´Hopital nos dice que para calcular un límite indeterminado primero debemos derivar por separado tanto el numerador como el denominador de la función.

Derivada del numerador =8x^4+6x^3+3x^2-x+6=32x^3+18x^2+6x-1

Derivada del denominador = -2x^4+3x^3-6x^2+7=x-8x^2+9x-12

lim┬(x→∞)⁡〖(8x^4+6x^3+3x^2-x+6)/(-2x^4+3x^3-6x^2+7)=(32x^3+18x^2+6x-1)/(-8x^3+9x^2-12x)=(32(∞)^3+18(∞)^2+6(∞)-1)/(-8(∞)^3+9(∞)^2-12(∞))=∞/∞〗

Como el resultado del segundo límite sigue siendo ∞/∞ necesitamos aplicar la regla de L’Hopital por segunda vez.

Derivada del numerador =32x^3+18x^2+6x-1= 〖96x〗^2+36x+6

Derivada del denominador = -8x^3+9x^2-12x=-24x^2+18x-12

lim┬(x→∞) (32(∞)^3+18(∞)^2+6(∞)-1)/(-8(∞)^3+9(∞)^2-12)=(96x^2+36x+6)/(-24x^2+18x-12)=(96〖(∞)〗^2+36(∞)+6)/(-24(∞)^2+18(∞)-12)=∞/∞

Como el resultado continúa siendo ∞/∞, necesitamos aplicar la regla de L’Hopital por tercera ocasión.

Derivada del numerador =〖96x〗^2+36x+6=192x+36

Derivada del denominador = -24x^2+18x-12=-48x+18

lim┬(x→∞) (96x^2+36x+6)/(-24x^2+18x)=(192x+36)/(-48x+18)=(192(∞)+36)/(-48(∞)+18)=∞/(-∞)

Como el resultado continúa siendo ∞/(-∞), necesitamos aplicar la regla de L’Hopital por cuarta ocasión.

Derivada del numerador =192x+36=192

Derivada del denominador =-48x+18= -48

lim┬(x→∞) (192x+36)/(-48x+18)=192/(-48)=-4

II) Utilizando la derivación parcial, obtén la derivada dy/dx de:

x^4+3x^2 y^3-x^5 seny=3x-2

Primeramente igualamos a cero

x^4+3x^2 y^3-x^5 seny-3x+2=0

Después de haber igualado a cero ahora derivaremos cada término respecto a x es decir ∂/∂x

x^4=d/dx (x^4 )=〖4x〗^3

〖3x〗^2 y^3=d/dx (〖3x〗^2 y^3 )=〖3y〗^3 (d/dx(x^2))=6y^3 x=6xy^3

-x^5 seny=d/dx (-x^5 seny)=-seny(d/dx(x^5))=-5senyx^4=-〖5x〗^4 seny

-3x=d/dx (-3x)=-3(d/dx x)=-3

2= d/dx (2)=0

Reuniendo los resultados anteriores la derivada ∂f/∂x queda.

∂/∂x (x^4+3x^2 y^3-x^5 seny-3x+2)=4x^3+〖6xy〗^3-5x^4 seny-3=-5x^4 seny+4x^3+6xy^3-3

Ahora derivaremos cada término respecto a y es decir ∂/∂y.

Este término depende de la variable x, a la cual estamos considerando como constante y debido a que una variable de la constante es cero.

x^4=d/dy (x^4 )=0

〖3x〗^2 y^3=d/dy (〖3x〗^2 y^3 )=〖3x〗^2 (d/dy(y^3))=9x^2 y^2

-x^5 seny=d/dy (-x^5 seny)=-x^5 cosy

Este término depende de la variable x, a la cual estamos considerando como constante y debido a que una variable de la

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