CALCULO DE PREDICADOS

CALCULO DE PREDICADOS

En el cálculo o lógica proposicional se ha trabajado con expresiones construidas a partir de variables y operadores booleanos. El cálculo o lógica de predicados aumenta la expresividad del lenguaje a expresiones en las que hay variables de otros tipos y se permiten cuantificaciones sobre estas variables.

Los tipos pueden pensarse, intuitivamente, como colecciones de objetos que –eventualmente- pueden operarse mediante funciones o métodos que los transforman. La colección de los objetos de un tipo constituye el universo del tipo.

Para expresar el hecho de que un elemento del lenguaje x es de tipo T, se escribe x:T. En la práctica es corriente omitir el tipo de los elementos involucrados en una fórmula, a menos que sea conveniente por resaltar cuál es la situación.

En lógica proposicional, la verdad de una fórmula se puede determinar, así sea muy dispendioso, mediante una tabla de verdad. En lógica de predicados esto es usualmente imposible.

El problema de poder definir lo que podría hacer las veces de una tabla de verdad radica en que los tipos de las variables no son finitos, en general. Si lo fueran, se podría definir la verdad de cada predicado atómico con una tabla que permitiera, como se explica en 4.1.2.1, calcular la verdad de todos los predicados3.

La alternativa está en calcular la verdad de los predicados, a partir de axiomas y de reglas de inferencia que deben justificarse de manera intuitiva, a partir del significado pretendido para las fórmulas. Es esencial conocer el cálculo proposicional, porque todo axioma de éste sirve como axioma del cálculo de predicados, si se remplazan variables proposicionales por predicados. Por ejemplo, son axiomas del cálculo de predicados:

true

hombre.x ∨ ¬hombre.x ≡ true

false ⇒ (∀x|: mortal.x)

porque son instancias de los axiomas (cambiando símbolos de proposición por predicados):

true

p ∨ ¬p ≡ true

false ⇒ p

Y por tanto, todo teorema de lógica proposicional en el que se remplacen los símbolos de proposición por predicados, es también un teorema de lógica de predicados.

Se quedan por fuera de este modo de decidir su verdad, los predicados que contengan cuantificaciones universales y existenciales. Como cuantificaciones que son, las fórmulas que usan "para todo" y "existe" se rigen por los axiomas y reglas de cuantificaciones genéricas. Sin embargo,

hay peculiaridades de la lógica de predicados que se reflejan en axiomas propios de este aparato deductivo.

Todas las técnicas y formas de demostración (pruebas con

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