CALCULO DE VARIAS VARIABLES

Cálculo de varias variables II

Actividad 2. Solución de Integrales Dobles

Al finalizar esta actividad podrás encontrar áreas, centros de masa, momentos de inercia y volumen de cuerpos que impliquen el uso de integrales múltiples, así como los cambios de variable para facilitar su cálculo.

Instrucciones:

1. Analiza, cada uno de los planteamientos que a continuación se describen:

Demuestra el teorema de Fubini para integrales dobles.

Sea f una función continua sobre el rectángulo R = [a,b] x [c,d], entonces se cumple:

∬_R▒〖f(x,y)dA= ∫_a^b▒∫_c^d▒〖f(x,y)dydx= ∫_c^d▒∫_a^b▒f(x,y)dxdy〗〗

Demostración: Toma una participación de magnitudes iguales en [c,d], tales que c =

y0 < y1 < y3 ⋯ < ym = d, y define la función: F (x) = ∑_0^(m-1)▒∫_(y_r)^(y_(r+1))▒〖f (x,y)dy〗

Ya que la función es acotada y continua se aplica el teorema del valor medio. Por lo

tanto ∫_(y_r)^(y_(r+1))▒〖f(x,y)dy=f(x,y_r 〗 (x)) (y_(r+1 )- y_r ).

siempre que los

El señor Wilfredo heredó un terreno sólo le notificaron que tiene la forma de un pétalo ( r = cos 2θ ). Calcula el área del terreno.

Una empresa de balones de fútbol, necesita determinar el volumen de los nuevos modelos de éstos si los describe la función z = cos2 θ; - π/4 ≤ θ ≤ π/4.

Un artesano de charolas rectangulares cuya región definen los puntos ( 0,0 ), ( 0,2 ), ( 2,0 ), ( 2,2 ) necesita encontrar la masa y su centro de masa de la charola, si la función densidad está dada por p( x, y ) = 2 + x + y. .¿cuáles son la masa y su centro de masa?

2. Resuelve cada una de las integrales triples dependiendo de su clasificación.

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