Cálculo de una variable

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICAS

SEMESTRE OCTUBRE 2022 – FEBRERO 2023

FIN DE CICLO

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PROYECTO DE PROBLEMATIZACIÓN

Deberá enviar un documento en pdf sobre: Técnicas de integración por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales; de acuerdo al contenido investigado por usted, deberá formular 7 preguntas las mismas que estarán enmarcadas entre sus dudas o inquietudes, una vez realizadas esas preguntas convendrá dar respuestas desde otra información consultada por usted con la finalidad de buscar otra fuente bibliográfica.

La tarea tendrá un valor de 7 puntos.

El mismo que debe constar entre 10 a 12 páginas de la investigación, si lleva ejercicios entre 12 a 15 páginas.

Se calificará las preguntas y respuestas tipo cuestionario el mismo que debe ser no menos de 7 ítems.

El documento debe ser enviado con sus Nombres y Apellidos.

REQUISITOS DEL PROYECTO DE PROBLEMATIZACIÓN:

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

ASIGNATURA: CÁLCULO DE UNA VARIABLE

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN POR PARTES, SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Y FRACCIONES PARCIALES

PROAÑO MENÉNDEZ JUSTINE SALOMÉ

Ing. Fabrina Cedeño Mendoza Mg. Sc

PORTOVIEJO-MANABÍ-ECUADOR

2023

1. INTRODUCCIÓN

El presente proyecto está dirigido a el análisis de los siguientes temas orientados y tratados en las clases vistas con anterioridad en cálculo: técnicas de integración por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales.

A comparación con las derivadas, ningún producto de funciones tiene una fórmula integral. La regla más cercana a la integración de grupos de identidad es la integración de partes. Curiosamente, se basa en la fórmula derivada del producto de funciones. En cálculo y análisis matemático general, la integral de partes es la integración del producto de funciones con sus derivadas y viceversa. La integración parcial es válida si la función a integrar se puede considerar como un producto de funciones. La teoría de Riemann, en matemáticas, a veces se le llama integral de Riemann-Stilles, en honor a Bernard Riemann y Thomas Joanne Steltges. Este libro es una introducción útil e informativa a las integrales de Lebest y una herramienta invaluable para estandarizar las formas equivalentes utilizadas en la probabilidad discreta y continua y la teoría estadística.

Esta es la integral de Lebesge habitual y se puede aplicar a cualquier función de variables sobre la serie real. La integral de Lebesgue-Sertz, llamada así por Henri Loebgue-Leon y Thomas Johann Steele, se conoce como la integral de Lebesgue-Radon o simplemente la integral de Radon, originalmente teorizada por Johann Radon. Los términos de sustitución en funciones trigonométricas son métodos de integración. La integración por partes se usa para encontrar la integral de una función. Este método se usa cuando en la integral aparecen productos de polinomios exponenciales o trigonométricos, pero se puede usar en muchos otros casos. Es posible que también deba resolver parcialmente la nueva integral, por lo que es posible que deba realizar este método varias veces para resolver completamente la integral.

1. MARCO TEÓRICO……………………………

2.1 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN POR PARTES

A diferencia de las derivadas, no existe una fórmula para poder integrar cualquier producto de funciones. Lo más cercano que se tiene a una regla para integrar producto de funciones es la integración por partes. Curiosamente, se basa en la fórmula para derivar un producto de funciones. Sin embargo, la integración por partes transforma una integral de un producto en otra integral. Esta fórmula no funciona para integrar todos los productos de funciones

En cálculo y análisis matemático general, la integración por partes es el proceso de integrar el producto de una función a partir de la integración de sus derivadas y antiderivadas. A menudo se usan para convertir la antiderivada del producto de una función en su antiderivada para que sea más fácil encontrar una solución. La fórmula de la integración por partes es la siguiente:

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Al observar que se tiene por derivar [pic 5] e integrar [pic 6], por lo que será conveniente que la integral de [pic 7] sea sencilla. En general, las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como [pic 8]. Mientras que las funciones exponenciales, seno y coseno se eligen como [pic 9].

Deducción de la fórmula

Supongamos que tenemos las funciones [pic 10] y [pic 11]. Entonces su derivada está dada por  [pic 12]

Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos

  [pic 13]

Luego, si pasamos [pic 14] al lado izquierdo, obtenemos

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La integración por partes es útil cuando la función a integrar puede considerarse como el producto de una función f, cuya derivada es más sencilla que f, por otra función que claramente es de la forma g. Fórmulas más generales de integración por partes existen en Integral de Riemann-Stieltjes y en Integración de Lebesgue–Stieltjes.

• Teorema de la integral de Riemann-Stieltjes.

En matemáticas, la integral de Riemann-Stieljes es una generalización de la integral de Riemann, llamada así por Bernhard Riemann y Thomas Joan Stieljes. La definición de esta integral fue publicada por primera vez por Stieltjes en 1894. Es una introducción útil e informativa a las integrales de Lebesgue y una herramienta invaluable para unificar formas equivalentes de teoría estadística aplicada a la probabilidad discreta y continua.

Donde f es una función real continua de una variable real y v es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue-Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes, en diversos casos se escribe de la siguiente manera:

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En cambio, para la integral de Lebesgue-Stieltjes, dejando implícita la medida uv. Esto se debe particularmente al ser común en la teoría de la probabilidad cuando v es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de valor real X, que de acuerdo en determinados casos suele considerarse en la próxima fórmula:

[pic 17]

• Integración de Lebesgue-Stieltjes.

En el análisis de la teoría de la medida y ramas relacionadas de las matemáticas, la integral de Lebesgue-Stieljes generaliza las integrales de Riemann-Stieljes y Lebesgue, conservando muchas de las ventajas de la primera en un marco teórico de la medida más general. La integral de Lebesgue-Stiles es una integral ordinaria de Lebesgue sobre una medida, conocida como medida de Lebesgue-Stiles, que se puede asociar con cualquier función de varianza en la recta real. Una escala de Lebesgue-Stieltjes es una escala de Borel regular y, a la inversa, todas las escalas de Borel regulares en la línea derecha son de este tipo.

 La integral de Lebesgue-Stiles lleva el nombre de Henri Lebesgue Leon y Thomas Joan Stieles, también conocida como integral de Lebesgue-Radon o simplemente integral de Radon, en honor a Johann Radon, a quien se atribuyen muchas teorías. Son ampliamente utilizados en procesos probabilísticos y estocásticos y en ciertas ramas del análisis, incluida la teoría de la probabilidad. Lebesgue - Punta Stieltje.

La integral Lebesgue-Stieltjes es definida cuando conlleva a Borel medible, acotado y definido si la varianza de [a,b] es acotada y continua por la derecha, o si f no es negativa y g es monótona y continua por la derecha. Primero, asumimos que f no es negativa y g es monótona, no decreciente y continua por la derecha. Defina w ((s,t]) = g(t) - g(s) y w({un}) = 0 (o para g continua izquierda, w([s,t])) = g(t) - g(s) y w({b}) = 0). [pic 18]De acuerdo con la teoría de expansión de Carathéodory, existe una única escala de Borel μg correspondiente a w en cada período I en [a, b]. La escala de μg se deriva de la escala exterior (en realidad, la escala exterior métrica) introducida por la integración de Lebesgue-Stieltjes. 

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