Calculo De Volúmenes

MÉTODO DEL DISCO.

Si giramos una región del plano alrededor de un ejeobtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = R w 2 π Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se próxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es, la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

y la hacemos girar en torno al eje y.

Sabemos que el área de un cilindro es igual a

Por lo tanto

Encontramos los ceros de la función

Por lo tanto evaluamos en el intervalo de

Donde es el radio

la altura y

El ancho

Resolvemos

METODO DE LA ARANDELA.

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:

Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar en la figura de abajo.

Hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior.

El radio exterior (radio más grande) lo determina la función y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función. Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así:

Area de la arandela:

En la figura anterior, tenemos:

Entonces,

Factorizando π, nos queda,

Encontrar el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por las curvas alrededor del eje

-las curvas quedarían graficadas de la siguiente manera:

siendo la curva roja y la azul .

lo primero que debemos darnos cuenta es que, al girar la región sobre el eje , necesitamos tener las funciones respecto al eje y, para así encontrar los intervalos entre los puntos de intersección sobre el eje . En este ejemplo las funciones ya están despejadas para , ya que necesitamos una función que por cada valor de nos devuelva el valor correspondiente en , puesto que éste será nuestro radio para cada circunferencia que sumaremos.

Para encontrar los puntos de intersección realizamos lo siguiente:

igualamos:

despejamos:

obtenemos el punto de intersección de las 2 curvas sobre el eje y:

.

Con esto sabemos que el integral correría desde hasta .

Ahora construyamos el integral:

sabemos que hay dos curvas una sobre la otra, con la gráfica podemos darnos cuenta que está sobre , esto quiere decir que el volumen de un solo disco vendría dado por: ,

Entonces, el volumen total del sólido sería:

Y expresado en una integral definida sería:

Resolviendo la integral:

...