Calculo Diferencial

SOLUCION EJERCICIOS

Si la función demanda es D(q)=1000-〖0.4q〗^2y la función oferta esS(q)=42q

Calcule el excedente del productor EP Y el excedente del consumidor EC

Solución:

Hallamos el punto de equilibrio D(q)=S(q)

1000-0,4q^2=42q

0,4q^2+42q-1000=0 *(2,5)

q^2+105q-2500=0

(q+125)(q-20)=0

q+125=0 υ q-20=0

q=-125 υ q=20

Por lo tanto q_E=20 , despejandolo en una de las ecuaciones nos queda:

42(q_E )=42(20)=840

El punto de equiñibrio es: P(20,840)

El excedente del productor es:

E.P=Q.P-∫_0^0▒〖S(q)dq=(20)(840)-∫_0^20▒〖42q dq〗〗

=16800-21├ Q^2 ┤|_0^20=16800-21(20)^2+21(0)^2

=16800-21(400)+0=16800-8400

EP=8400

El excedente del consumidor es:

E.C∫_0^0▒〖D(q)dq-QP=∫_0^20▒〖(1000-0,4q^2 )dq-(20)(840) 〗〗

=(1000Q-2/15 ├ Q^3 ┤|_0^20-16800

=(1000(20)-2/15 (20)^2 )-(1000(0)-2/15(0)^3-16800

=(2000-2(8000)/15-(0-2(0)/15)-16800

=2000-300/3-16800

=6400/3

EC=2133,33

Durante los cinco primeros años que un producto se coloca a la venta en el mercado la función f (x) describe la razón de ventas cuando pasaron x desde que el producto se presento al mercado por primera vez. Si conocemos la función f (x) = 2700 x + 900 si 0 ≤ x ≤ 5. Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro años.

Solución:

F(X)=2700√X+900 si 0 ≤x ≤5

V_T (4)= ?

V_T=∫_0^4▒〖=2700√X+900 dx〗

V_T=(1800√(x^3 )+900x├ )┤|_0^4

=(1800√(4^3 )+900(4))-(1800√(0^3 )+900(0))

=1800√64+3600

=1800(8)+3600

=14400+3600

V_T=18000

Las ventas totales durante los primeros cuatros años ascienden a 18000 unidades

Al girar la figura alrededor del eje Y se obtiene un volumen de:

Solución:

Como gira alrededor del eje y entonces:

x=f(y)=-y+4

El volumen rotado quedaría:

Utilizando el método de las arandelas tenemos que el volumen es: V=π∫_0^y▒〖R(y)^2 dy〗

Se halla la ecuación del radio:

m=(y_1-y_2)/(x_1-x_2 ) tomando los puntos(2,2)y(4,0)m=(2-0)/(2-4)=-1

y-y_1=m(x-x_1 )→y-2=-1(x-2)→y-2=-x+2→x=4-y

V=π∫_0^2▒〖(4-y)^2 dy=π∫_0^2▒〖(〖16-8y+y〗^2 )dy=π[16y-8 y^2/2+y^3/3]_0^2 〗〗

V=π[16(2)-4〖(2)〗^2+〖(2)〗^3/3]-π[16(0)-4〖(0)〗^2+〖(0)〗^3/3]=π[32-16+8/3]-0=56π/3

El volumen de la figura girada es de 56π/3 unidades cubicas.

Tenemos un resorte de 40 centímetros de longitud en posición natural. Al aplicarle una fuerza de 40 dinas el resorte se estira un centímetro. El trabajo necesario para estirarlo 10 centímetros más de su posición natural es:

Solución:

Por la ley de hooke, la fuerza para estirar un resorte x unidades de su longitud natural se requiere una fuerza F(x)=kx,donde k es la constante del resorte. El trabajo para desplazar el resorte b unidades esta dado por

W=∫_0^b▒〖F(x)dx=∫_0^b▒〖k xdx=[k x^2/2]_0^b 〗〗

Hallamos k: F(x)=kx→40 dinas=k(1cm)→k=40 dinas/cm

F(x)=40x

Luego el trabajo necesario para moverlo 10 cm es:

W=∫_0^b▒〖F(x)dx=∫_0^b▒〖40 xdx=[40 x^2/2]_0^10=[〖20*10〗^2 ]-[〖20*20(0)〗^2 ]=2000〗〗

El trabajo necesario para estirar el resorte 10 cm es de 2000 ergios.

Dadas las funciones demanda D(x)=50-x^2/2

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