Vamos a estudiar la representación gráfica de la función

Ejemplo

Vamos a estudiar la representación gráfica de la función .

Dominio.

Los puntos en los que la función no existe son los que el denominador vale 0. Por lo tanto:

Es decir, el dominio será:

Cortes con los ejes.

Los cortes con el eje se encuentran cuando y el corte con el eje cuando . Por lo tanto:

Cortes eje :

Cortes eje :

Signo.

El signo de un intervalo no cambia a menos que haya una discontinuidad o un corte en el eje . Por tanto, para estudiar el signo vamos a usar los intervalos dónde tenemos la seguridad que el signo no va a cambiar, que son los siguientes:

Asíntotas.

Verticales: Las asíntotas verticales ocurren cuando la función tiende a infinito por un valor real de la variable. Es decir, cuando el denominador es igual a 0. Para encontrarlas debemos hacer el límite cuando tiende a esos valores.

Por lo que hay una asíntota vertical y un punto vacío para .

Horizontales: Si el límite cuando tiende a un número, decimos que hay asíntota horizontal.

Por lo que hay asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda. Además, no habrá ninguna asíntota oblicua.

Posibles extremos.

Los extremos relativos se encuentran buscando los valores por los que . Por lo tanto, primero debemos encontrar la derivada de la función:

Y ahora buscar los valores por los cuales vale cero:

No tiene solución, por lo que no habrá extremos relativos.

Crecimiento.

Vamos a estudiar los intervalos en los que la primera derivada es positiva o negativa, es decir, los intervalos en los que la función crece o decrece.

Por lo que la función crece en la totalidad de sus puntos.

Puntos de inflexión.

A partir de la segunda derivada vamos a encontrar los puntos de inflexión.

Igual que antes, no tiene solución, por lo que no hay puntos de inflexión.

Gráfica

La función esta definida para todo x real, excepto para los puntos de discontinuidad: x= -3 y x=-2, en el primer punto presenta una discontinuidad evitable, dándole el valor (-3,2), en el segundo la discontinuidad es asintotica, siendo la recta vertical x= -2 la asintota.

La función corta al eje x en el punto (-1,0) y al eje y en (0, 0’5).

Para valores de x menores de –2 y mayores de –1 la función toma valores positivos, y para valores comprendidos entre –2 y –1, la función toma valores negativos.

La función es creciente y convexa en todo el domino de definición, y tiene una asíntota horizontal y= 1

Definicion de funcion

Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada

elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado

imagen de x por f, que se denota y=f (x).

Por ejemplo en el caso de esta gráfica, que es una circunferencia, si trazaramos una línea recta a la mitad, esa línea tocaría 2 puntos, entonces, estaríamos hablando de que ésta gráfica nos representa una relación

En este Otro Caso vemos que si trazamos una línea vertical a la mitad de la figura, ésta, entonces, sólo pasará por un punto, indicandonos que ésta gráfica representa una función

CALCULO DIFERENCIAL

TEMA 1 : PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Teorema del signo.-

Sea f:[a,b] -->R una función continua en (a,b) entonces si f(x0)"0, existe un entorno E(x0, ) en que f tiene el mismo signo que f(x0).

Si x0=b (respectivamente x0=a) entonces existe un tal que f toma en (b- ,b) (respectivamente (a,a+ ) el mismo signo que f(x0).

Lema (de acotación).-

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