Ciencias Formales

Las Matemáticas

No es tarea fácil definir las Matemáticas debido al gran progreso que han experimentado en los últimos siglos. Se ha venido afirmando que las Matemáticas estudian el número y la extensión, pero esta definición ha quedado anticuada. Vamos a exponer un esquema muy simplificado de las distintas partes de esta ciencia para hacernos una idea de su contenido:

Organigrama de las Matemáticas

Organigrama de las Matemáticas

En los fundamentos de las Matemáticas, está la teoría de los conjuntos y la Lógica.

Esta fundamentación ha dado origen a la matemática moderna que ha supuesto una revolución. Esta revolución surgió para dar al conjunto de los conocimientos matemáticos una mayor consistencia y coherencia. Tal fue la intención de sus creadores, Hilbert, Cantor y Russell. También fueron importantes las aportaciones de los matemáticos franceses reunidos bajo el nombre de Nicolás Bourbaki. Para todos ellos era más importante enunciar y demostrar con el máximo rigor los principales teoremas de las Matemáticas que descubrir otros nuevos.

Este nuevo enfoque de las Matemáticas, concibe a esta ciencia como un sistema formal axiomático. Si conseguimos entender estas palabras, habremos comprendido la estructura de las Matemáticas.

Un sistema formal axiomático, está constituido por un conjunto de proposiciones llamadas tesis del sistema, de las que unas son los axiomas y otras los teoremas.

Los axiomas

Son las proposiciones básicas del sistema. Axioma viene del griego αξιωματα que significa dignidades. Son las proposiciones más dignas, las primeras. Así las bautizó Euclides en sus Elementos. Antiguamente estos axiomas eran evidentes; es decir, su verdad se imponía inmediatamente a la mente. Son los llamados axiomas materiales.

En la actualidad, sin embargo, los axiomas se enuncian como axiomas formales, como proposiciones cuya verdad no se plantea como problema, pero que se establecen como fundamento de todas las demás proposiciones del sistema formal axiomático.

Para hacernos una idea adecuada del sistema formal axiomático, pondremos como ejemplo, el del juego de ajedrez. Los axiomas son las reglas del juego, de las que no se pueden salir los jugadores, y, por tanto, en los sistemas formales axiomáticos, los axiomas deben quedar bien establecidos para que se puedan deducir los teoremas con ausencia de contradicción.

Los teoremas

Son las proposiciones o tesis del sistema formal axiomático que se demuestran a partir de los axiomas, o a partir de otros teoremas ya demostrados.

Estructura de un sistema formal axiomático

Parte morfológica

Un conjunto de componentes primitivos.

Un conjunto de operaciones relativas a tales componentes.

Un conjunto de reglas de formación expresivas de cómo a partir de los componentes primitivos se pueden construir nuevos componentes llamados derivados.

Parte axiomática

Un conjunto de axiomas.

Un conjunto de definiciones.

Un conjunto de reglas o criterios de deducción.

Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores.

Lo que se refiere a la parte morfológica, lo hemos estudiado en la Lógica proposicional. En cuanto a la parte axiomática, se han formulado diferentes grupos de axiomas como los de Lukasiewicz, los de Frege – Lukasiewicz, y los de Hilbert – Ackermann, que pasamos a exponer.

Axiomas

A 1: ( p \lor p ) \to p

A 2: p \to (p \lor q)

A 3: (p \lor q) \to q \lor p

A 4: (p \to q) \to [(r \lor p) \to (r \lor q)]

Definiciones

Tienen como fin establecer el significado de los operadores no primitivos o derivados.

Df, 1: p \to q = df \bar{p} v q

Df, 2: p \land q = df \overline {\bar p \lor \bar q}

Df. 3: p \underline{\lor } q = df \overline { p \to q} \lor \overline {(q \to p)}

Df. 4: p \leftrightarrow q = df (p \to q) \land (q \to p)

Criterios de deducción

D 1: A 1, A 2, A 3, A 4 son tesis.

D 2: Si p es una tesis y si p \to q es una tesis, entonces q es una tesis (modus ponendo ponens).

D 3: Si una expresión lógica es una tesis y sustituimos en ella una proposición atómica por otra cualquiera, el resultado es una tesis.

D 4: Si p \to q es una tesis, y si q \to p es una tesis, entonces q \to r es una tesis.

D 5: Nada es tesis si no es mediante los criterios: D 1, D 2, D 3 y D 4.

A partir de estos axiomas, definiciones y criterios de deducción se pueden ir demostrando los teoremas de la lógica proposicional. Por ejemplo:

A partir de A 2, D 1, D 3, se obtiene: p \to ( p \lor p) T1.

A partir de A 1, T 1, D 1, D 4: p \to p T2.

A partir de T 2, Df 1: \overline {p} \lor p T3.

A partir de A 3, D 1, D 3 : (\overline{p} \lor p) \to ( p \lor \overline {p}) T4.

A partir de T 3, T 4, D 2 : (p \lor \overline {p}) T5.

En el método matemático no existe un modelo único de sistema formal axiomático para toda la matemática. Cada una de sus partes, –según el organigrama anterior–, tiene su sistema formal axiomático.

La teoría de los conjuntos utiliza los axiomas de Zermelo – Faenkel, o los de Neumann – Bernays – Gödel. La aritmética usa los de Peano, La geometría euclídea los de Hilbert, etc.

Finalmente, para que un conjunto de axiomas esté bien construido tiene que cumplir los siguientes requisitos:

Independencia:

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