Consistencia

Consistencia: Comenzaremos por explicar a qué nos referimos cuando decimos que un sistema es consistente. Un sistema axiomático es consistente cuando no es posible derivar una contradicción a partir de sus axiomas. Decimos por el contrario que un sistema es inconsistente si es posible probar en este sistema como teorema una fórmula cualquiera y su negación. Como a partir de premisas inconsistentes se puede deducir cualquier conclusión, un sistema inconsistente carece de utilidad para la ciencia puesto que en todas sus interpretaciones, habrá enunciados falsos. Dicho de otro modo, como por la regla EFSQ de la contradicción se puede deducir cualquier conclusión, un sistema inconsistente sería inútil como herramienta. Como no pueden tener ningún modelo, estos sistemas no son interesantes, para la construcción de conocimiento científico. Es posible probar la inconsistencia de un sistema axiomático derivando una fórmula y su negación. Por otra parte, si al tratar de hacerlo no podemos lograrlo, entonces no estaría probado que el sistema es consistente puesto que el fracaso del intento bien podría estar dado por la falta de creatividad o ingenio para conseguir derivar la contradicción.

La consistencia es difícil de probar. El método para probar la consistencia de un sistema consiste en encontrar un modelo para dicho sistema axiomático. El sistema será consistente si el modelo lo es. Pero se trata de una prueba relativa. Si el modelo tratado cuenta con modelos finitos, entonces la consistencia puede demostrarse inspeccionando todo el modelo.

Independencia: Esta no es una propiedad indispensable de un sistema axiomático. Un sistema es independiente si no puede demostrarse a partir de los demás.

Un sistema de axiomas es independiente si lo son todos los axiomas que componen el sistema. La independencia no es tan importante como la consistencia. Un sistema inconsistente es totalmente inútil y objetable desde la lógica pero no puede hacerse ningún tipo de objeción lógica al hecho que los axiomas de un sistema no sean independientes. Si un axioma puede demostrarse de los demás, entonces estaría probado que no es independiente. No obstante, al igual que sucedía con la consistencia, el hecho de que no pueda probarse la redundancia no prueba que sea independiente. Sin embargo, también aquí el descubrimiento de los modelos provee una forma de demostración. Decimos que un axioma es independiente si hay una interpretación que lo hace falso y verdaderos a todos los demás puesto que si fuera deducible de los demás, cualquier interpretación que hiciera verdaderos a éstos lo haría también verdadero a él. En otros términos, un axioma es independiente si la conjunción de su negación con los demás axiomas del sistema en cuestión tiene algún modelo.

Completitud: Un sistema axiomático es completo si no es posible añadirle axiomas nuevos sin que el sistema en cuestión se convierta en dependiente o inconsistente.

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