DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

ÍNDICE

4.1.- DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES………………….2

4.2.- GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES……………………..5

4.3.- CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL………………………………………...…7

4.4.- DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA…………………………………………………..10

4.5.- DERIVADA DIRECCIONAL……………………………………………………...14

4.6.- DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR………………………….21

4.7.- INCREMENTOS, DIFERENCIALES Y REGLA DE LA CADENA…………...23

4.8.- DERIVACIÓN PARCIAL IMPLÍCITA……………………………………………26

4.9.- GRADIENTE……………………………………………………………………….27

4.10.- CAMPOS VECTORIALES………………………………………………………30

4.11.- DIVERGENCIA, ROTACIONAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA…………………………………………………………………………………….32

4.12.- VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES…….33

5.1.- INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………..37

5.2.- INTEGRAL DE LÍNEA…………………………………………………………….38

5.3- INTEGRALES INTERADAS DOBLES Y TRIPLES……………………………44

5.4.-APLICACIÓNES A ÁREAS Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS……………….46

5.5- INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES………………………..50

5.6.- COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS……………………………..55

5.7 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS Y ESFERICAS…………………………………….58

BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………….60

4.1.- DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.

Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x)  que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla. 

Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale algo diferente, procesado:

[pic 1]

La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y = f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables. 

Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z. 

[pic 2]

Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el siguiente:

[pic 3]

Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimensionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función. 

4.2.- GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.

Gráfica de funciones de dos variables

Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional.

Observación: La gráfica de una función de dos variables [pic 9] puede interpretarse geométricamente como una superficie [pic 10] en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano [pic 11] es [pic 12], el dominio de [pic 13].En consecuencia, a cada punto [pic 14] en[pic 15] le corresponde un punto [pic 16] en la superficie y, a la inversa, a cada punto [pic 17] en la superficie le corresponde un punto [pic 18] en [pic 19] (figura 1).

[pic 20]

Ejemplo 1

Trace la gráfica de la función [pic 21]

Solución

La gráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocen como paraboloides (figura 2).

[pic 22]

Observación: el paraboloide anterior [pic 23] tiene su eje de simetría paralelo al eje[pic 24], es de esperar que un paraboloide como [pic 25] tenga su eje de simetría  paralelo al eje [pic 26].

4.3.- CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL.

Una curva es: una línea continúa de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola y la hipérbola. 
En fin, una curva es una línea que hace firuletes en un espacio vectorial. 

[pic 27]

Superficie: es un conjunto en 3d, una esfera, un paraboloide hiperbólico, paraboloide, un elipsoide, etc....

[pic 28]

LAS CURVAS Y SUPERFICIES NO SON FUNCIONES,SON CONJUNTOS. QUE SE PUEDEN VER COMO "CORTES" DE LOS GRAFICOS QUE DESCRIBEN LAS FUNCIONES. A CADA CORTE DE LA FUNCION SE LO LLAMA NIVEL. 

El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.
La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:

Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel 

Las curvas de nivel se usan: en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración.

En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante). 

[pic 29]

[pic 30]

4.4.- DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente.

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