Definicion De Variable

3.1 Definición de variable aleatoria y su clasificación

Variable: es una palabra que representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable.

Por ejemplo: x es una variable del universo {1, 3, 5, 7}. Por lo tanto, x puede ser igual a cualquiera de los recién mencionados valores, con lo cual es posible reemplazar a x por cualquier número impar que sea inferior a 8.

Puede hablarse de distintos tipos de variable: las variables dependientes, que son aquellas que dependen del valor que se le asigne a otros fenómenos o variables; las variables independientes, cuyos cambios en los valores influyen en los valores de otra; las variables aleatorias son las funciones que asocian un número real a cada elemento de un conjunto E.

En otra clasificación puede decirse que existen variables cualitativas, que expresan distintas cualidades, características o modalidades, y variables cuantitativas, que se enuncian mediante cantidades numéricas, entre otras. Dentro de las variables cualitativas existen las nominales (aquellas que no son númericas y tampoco pueden ser ordenadas, como por ejemplo el estado civil) y las ordinales o cuasicuantitativa (son no-numéricas pero sí permiten ser ordenadas, como la nota de los exámenes). Por su parte, las variables cuantitativas pueden ser discretas (no permite valores intermedios sino números exactos, por ejemplo la cantidad de hermanos de una persona) o continuas (aquellas que aceptan valores intermedios entre dos números, por ejemplo medidas de peso o altura).

3.2 Propiedades de la variable aleatoria discreta.

3.2.1 Valor Esperado

El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cual era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), está definido por:

E(X) =  xi f(xi)

Lo anterior significa, que para calcular E(X) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.

El valor esperado representa el valor promedio que se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a lamedia o promedio aritmético, los cuales se representan con la letra .

De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:

E(X) =  =  xi f(xi)

Ejemplo. Si se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.

Solución.

Definamos la variable aleatoria X como la suma de los números que aparecen al lanzar dos dados legales. Como vimos en el problema anterior, la distribución de probabilidad es:

 xi f(xi) =

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

En particular, si la distribución de probabilidades es simétrica como en el ejemplo anterior, el valor esperado coincide con el valor de la variable que tiene la mayor probabilidad en la distribución.

3.2.2 Varianza

Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión.

La primera está representada por la media o valor esperado, ya vista en el punto anterior, y la segunda por la variancia o por la desviación estándar, que evalúan la dispersión de la distribución de probabilidad o grado en que se separan del promedio los valores de la variable aleatoria X.

Por ejemplo, en un espacio muestral equiprobable vemos que los valores 5, 10 y 15 tienen una media de 10 y que los valores 9.9, 10 y 10.1 la media también es 10. Sin embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren notablemente en la dispersión de los valores respecto a su media y que tal dispersión es de gran importancia. Por lo tanto, para tener un conocimiento claro y completo del comportamiento de los valores que puede tomar la variable aleatoria, es indispensable conocer tanto la media como la variancia o la desviación estándar de la distribución de probabilidad.

Las desviaciones (X -  ) toman valores: (x1 - ), (x2 - ), (x3 - ), ,(xi -), con probabilidades respectivas: f(x1), f(x2), f(x3), . . . , f(xi). Sin embargo, al tomar el valor esperado de estas desviaciones nos encontramos con que:

E(X -  ) = (xi -  ) f(xi) =  xi f(xi) -   f(xi) =  xi f(xi) -  =  - = 0

Esto se debe a que las desviaciones positivas se compensan con las desviaciones negativas. Para determinar una medida de dispersión,

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