Definicion De Variable

3.1 Definición de variable aleatoria y su clasificación

Variable: es una palabra que representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable.

Por ejemplo: x es una variable del universo {1, 3, 5, 7}. Por lo tanto, x puede ser igual a cualquiera de los recién mencionados valores, con lo cual es posible reemplazar a x por cualquier número impar que sea inferior a 8.

Puede hablarse de distintos tipos de variable: las variables dependientes, que son aquellas que dependen del valor que se le asigne a otros fenómenos o variables; las variables independientes, cuyos cambios en los valores influyen en los valores de otra; las variables aleatorias son las funciones que asocian un número real a cada elemento de un conjunto E.

En otra clasificación puede decirse que existen variables cualitativas, que expresan distintas cualidades, características o modalidades, y variables cuantitativas, que se enuncian mediante cantidades numéricas, entre otras. Dentro de las variables cualitativas existen las nominales (aquellas que no son númericas y tampoco pueden ser ordenadas, como por ejemplo el estado civil) y las ordinales o cuasicuantitativa (son no-numéricas pero sí permiten ser ordenadas, como la nota de los exámenes). Por su parte, las variables cuantitativas pueden ser discretas (no permite valores intermedios sino números exactos, por ejemplo la cantidad de hermanos de una persona) o continuas (aquellas que aceptan valores intermedios entre dos números, por ejemplo medidas de peso o altura).

3.2 Propiedades de la variable aleatoria discreta.

3.2.1 Valor Esperado

El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cual era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), está definido por:

E(X) =  xi f(xi)

Lo anterior significa, que para calcular E(X) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.

El valor esperado representa el valor promedio que se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a lamedia o promedio aritmético, los cuales se representan con la letra .

De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:

E(X) =  =  xi f(xi)

Ejemplo. Si se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.

Solución.

Definamos la variable aleatoria X como la suma de los números que aparecen al lanzar dos dados legales. Como vimos en el problema anterior, la distribución de probabilidad es:

 xi f(xi) =

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

En particular, si la distribución de probabilidades es simétrica como en el ejemplo anterior, el valor esperado coincide con el valor de la variable que tiene la mayor probabilidad en la distribución.

3.2.2 Varianza

Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión.

La primera está representada por la media o valor esperado, ya vista en el punto anterior, y la segunda por la variancia o por la desviación estándar, que evalúan la dispersión de la distribución de probabilidad o grado en que se separan del promedio los valores de la variable aleatoria X.

Por ejemplo, en un espacio muestral equiprobable vemos que los valores 5, 10 y 15 tienen una media de 10 y que los valores 9.9, 10 y 10.1 la media también es 10. Sin embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren notablemente en la dispersión de los valores respecto a su media y que tal dispersión es de gran importancia. Por lo tanto, para tener un conocimiento claro y completo del comportamiento de los valores que puede tomar la variable aleatoria, es indispensable conocer tanto la media como la variancia o la desviación estándar de la distribución de probabilidad.

Las desviaciones (X -  ) toman valores: (x1 - ), (x2 - ), (x3 - ), ,(xi -), con probabilidades respectivas: f(x1), f(x2), f(x3), . . . , f(xi). Sin embargo, al tomar el valor esperado de estas desviaciones nos encontramos con que:

E(X -  ) = (xi -  ) f(xi) =  xi f(xi) -   f(xi) =  xi f(xi) -  =  - = 0

Esto se debe a que las desviaciones positivas se compensan con las desviaciones negativas. Para determinar una medida de dispersión, necesitamos considerar únicamente la magnitud de las desviaciones sin sus signos.

Una manera de eliminar el signo de las desviaciones, es considerar el cuadrado de las mismas, es decir, (xi - )2.

Si obtenemos el valor esperado de las desviaciones elevadas al cuadrado, obtenemos una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad, la cual es conocida como Variancia y se simboliza por 2 ó Var (X) ó V(X).

La variancia de una variable aleatoria X se define como

2 = V(X) = Var (X) = E (X -  )2 = (xi - )2 f(xi)

A partir de ésta ecuación y mediante un pequeño desarrollo matemático, se obtiene la siguiente expresión:

2 = V(X) =  xi2 f(xi) - 2

Si representamos a  xi2 f(xi) por E( X2), podemos escribir:

2 = V(X) = Var (X) = E( X2) - E(X)2 = E( X2) - 2

Al usar la variancia como medida de dispersión o variabilidad se presenta una dificultad. Las unidades con que se miden los valores que toma la variable aleatoria X son lineales, por ejemplo kilogramos, metros, litros, etc., por lo que  = E(X) también será lineal, pero la variancia2 está en unidades cuadráticas, como kilogramos elevados al cuadrado, metros elevados al cuadrado, litros elevados al cuadrado, etc.

En vista de lo anterior, si queremos expresar la medida de dispersión en las mismas unidades en que se miden los valores de la variable aleatoria X, debemos tomar la raíz cuadrada positiva de la variancia. A esta cantidad se le conoce con el nombre de desviación estándar y se representa con .

La desviación estándar de una variable aleatoria X se define y simboliza como:

=

Ejemplo 4. 12. Consideremos nuevamente la distribución de probabilidad de las ventas semanales de unidades de alta fidelidad de la marca A, en la ya vimos que:

X = xi 0 1 2 3 4 5

f(x) 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1

Encontrar la variancia y la desviación estándar.

Solución.

Basándonos en la distribución de probabilidad podemos construir la tabla siguiente, en la cual obtenemos todos los valores que se necesitan para el cálculo.

X = xi 0 1 2 3 4 5 Total

f(x) 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 1

x f(x) 0 01 0.4 0.9 0.8 0.5 2.7

x2 f(x) 0 0.1 0.8 2.7 3.2 2.5 9.3

Podemos observar que:

E(X) =  xi f(xi) = 2.7 y que E(X2) =  x2 f(x) = 9.3

por lo tanto, la variancia es:

y la desviación estándar:

3.2.3 Desviación Estándar

La desviación estándar de una población es normalmente representada por la letra griega (sigma), cuando se calcula sobre la base de toda la población; por la letra s (minúscula) cuando se infiere de una muestra; y por la letra S (mayúscula) cuando simplemente corresponde a la desviación estándar de una muestra. La fórmula de la desviación estándar es , donde representa la suma de las diferencias al cuadrado entre cada observación y la media y N representa el número total de observaciones. La aparente complicación de la fórmula surge del hecho de que al restar la media a los valores de cada observación individual para calcular las diferencias ( ), los valores de las observaciones que están bajo la media producirán diferencias negativas, mientras que los valores de las observaciones que son mayores que la media proporcionarán valores positivos. Así, las diferencias positivas y negativas se

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