Definición, ecuaciones de 4rto grado

1. En pocas palabras nos establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz.

Podríamos enunciar el teorema fundamental del álgebra de la siguiente manera:

Cada ecuación polinómica de grado “n”, con coeficientes complejos, tiene n raíces en el cuerpo de los complejos.  La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.

Existen muchas formulaciones equivalentes del Teorema Fundamental del Algebra. Por ejemplo, cada polinomio real puede ser expresado como producto de factores lineales reales o cuadráticos reales.

UN POCO DE HISTORIA:

Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica, escribió que una ecuación polinómica de grado (con coeficientes reales) puede tener soluciones. Alberto Girardo aseveró que una ecuación de grado tiene soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación   →    a pesar de ser incompleta tiene las siguientes soluciones ya que la raíz 1 tiene multiplicidad 2.    | y | .[pic 1][pic 2][pic 3]

COMO DEMOSTRACIÓN:

        Sea “p” un polinomio de grado “n”. p - es una función entera. Para cada constante positiva “m”, existe un número real positivo “r” tal que                ,         si      .[pic 4][pic 5]

Si “p” no tiene raíces, la función , es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real “e” mayor que cero, existe un número positivo “r” tal que   ,        si .[pic 6][pic 7][pic 8]

Concluimos que la función ”f” es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si ”f” es una función entera y acotada, entonces, ”f” es constante y esto es una contradicción.

De manera que ”f” no es entera y por tanto ”p” tiene al menos una raíz. ”p” se puede escribir por tanto como el producto        ,         donde  es una raíz de ”p” y ”q” es un polinomio de grado “n-1”. Por el argumento anterior, el polinomio ”q” a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente.[pic 9][pic 10]

Repitiendo este proceso ”n-1” veces, concluimos que el polinomio “p” puede escribirse como el producto                donde ...  son las raíces de ”p” (no necesariamente distintas) y ”k” es una constante.[pic 11][pic 12][pic 13]

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