Ecuacion De Segundo Grado

Ecuación de segundo grado

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = 0), las raices, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

Definición de Ecuaciones de 2°

Una ecuación de segundo grado es una ecuación de tipo ax + bx + c = 0 e la cual a, b, c, son constante y a = 0, en otras palabras es toda ecuación en la cual el mayor exponente es 2.

Ecuación en segundo grado completas son ecuaciones de la forma ax + b +c = 0

Ecuación en segundo grado simples son ecuaciones de la forma ax +c = 0

Diremos que la incompleta si b o c, o ambas a la vez son cero.

Diremos que es completa cuando ninguno de los coeficientes es cero.

- La formula general es:

x = -b + b + 4ac

2a

Las incompletas se resuelven de forma sencilla despejados los términos que contiene x o sacando factor común ax e igualando los dos factores obtenidos a cero.

El discriminante de una ecuación de segundo grado es = b - 4ac según el signo de discriminante podemos saber el número de solución de la ecuación.

> 0 : 2 soluciones.

= 0 : 1 solución ( doble).

< 0 : No hay solución.

Concepto.

La ecuación de segundo grado con una incógnita a la igualdad de que se nos forma al substituir a la “y” de una fusión cuadratura por 0.

Esto es una fusión cuadrática.

Esto es una ecuación en segundo grado.

Cómo resolver ecuaciones de segundo grado por factorización.

Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 +7x = -10 a) Por factorización b) Por la fórmula

a) Por factorización:

x2 +7x = -10 se puede escribir como: x2 +7x + 10 = 0 ¿Por qué?

Regla1: Buscamos dos números que sumados den 7 y multiplicados den 10

Tales números son: 5 y 2, por lo tanto (x+2)(x+5) = 0 Favor de comprobarlo

Regla2: Si el producto de dos factores es cero, uno de los dos (o los dos), deben ser cero.

Por lo tanto x+2 = 0 -> x1 = -2 ;

x+5 = 0 -> x2= -5 ;

Ahora se comprueba cada valor hallado sustituyendo en la ecuación original:

x2 +7x = -10 x2 +7x = -10

(-2)2 + 7(-2) = -10 (-5)2 + 7(-5) = -10

4 - 14 = -10 25 - 35 = -10

-10 = -10 -10 = -10

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de factorización se deben seguir los siguientes pasos:

• Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.

• Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.

• Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.

• Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se pueden encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.

• Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos factores es 0, ya que cualquier numero multiplicado por 0, da como resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.

• Después se despeja X en los dos factores.

• Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.

• Por ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:

x2 - 28x + 187 = 0

(X ) (X ) = 0

(X - ) (X ) = 0

(X - ) (X - ) = 0

187 11

17 17

1

(X - 17) (X - 11) = 0

X - 17 = 0 X - 11 = 0

X1 = 17 X2= 11

FORMULA GENERAL

Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de formula general se deben seguir los siguientes pasos:

En este método de resolución, sólo hay que seguir la formula general para poder llegar a la resolución. La formula es:

-b + b2 - 4 a c

2a

• Solo hay que sustituir los valores de a, b y c en la formula.

• Un ejemplo de cómo resolver una ecuación cuadrática por este método es el siguiente:

x2 - 28x + 187 = 0

a = 1 b = -28 c = 187

- ( -28) + ( -28)2 - 4 ( 1 ) ( 187)

2 (1)

28+ 784 - 748

2

28+ 36

2

28+ 6

2

28+ 6 34 X1 = 17

2 2

28- 6 22 X2 =11 2 2

X1, y X2, son el resultado que se obtuvo de la ecuación, por tanto son las dos posibles soluciones para X.

Ejemplos

Factorizar:

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x2 + 5x − 12 = 0

2x2 + 5x = 12

2x2 − 12 = − 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma:

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si

x = 0

o si

x− 4 = 0

x = 4

Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:

Soluciones:

Ejemplos

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, seacompleta o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

y también

Así es que las soluciones son .

Aquí debemos anotar algo muy importante:

En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión . Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.

El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces)depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:

Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.

Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.

Si Δ es cero, la ecuación

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