Definición y representación de vectores

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

U.E.P.A. “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

CARÚPANO – ESTADO SUCRE

PROFESOR: INTEGRANTES:

Gumer Campos Daisis Boada C.I. 6.958.565

Gilalr Muchrrafie C.I. 24.134.835

Semestre 1. Turno Noche

Carúpano, Enero de 2013

ÍNDICE

Pág.

Introducción 4

1. Definición y representación de vectores 4

2. Vectores en el plano cartesiano. Ejemplos 5

3. Componentes de un vector. Ejemplos 7

4. Adición de vectores. Ejemplos 7

5. Vector unitario 9

6. Producto escalar de dos vectores. Ejemplos. 9

7. Vector combinación lineal. 13

Conclusión 15

Bibliografía 16

INTRODUCCIÓN

Un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo). Los vectores en un espacio Euclides o se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o en el espacio .

En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.

Algunos ejemplos de mangitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.

1. DEFINICIÓN Y REPRESENTACIÓN DE VECTORES.

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

 Origen. O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

 Módulo. Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

 Dirección. Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

 Sentido. Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

2. VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO. EJEMPLOS

El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas no cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

El plano cartesiano permite asociar a cada punto del plano, un par ordenado de números reales, que son sus coordenadas rectangulares, como en la figura de la derecha.

Ahora bien, si se considera el segmento de recta que une el origen de coordenadas (el punto ) con el punto y se supone que representa el desplazamiento de un objeto cualquiera desde hasta , puede también representarse gráficamente este desplazamiento en el plano cartesiano.

3. COMPONENTES DE UN VECTOR. EJEMPLOS

Representemos un vector en un sistema de coordenadas cartesianas.

El vector v tiene origen en y extremo en .

Se llaman componentes del vector a las proyecciones del vector sobre los ejes coordenados. O dicho en otras palabras a los desplazamientos que hay que realizar para moverse desde el origen del vector hasta su extremo.

En el gráfico vemos que vx y vy son las proyecciones del vector sobre los ejes.

El vector v puede describirse con sus componentes.

No hay que confundir las componentes del vector con las coordenadas de un punto, el contexto en el que nos estemos manejando nos aclarará dicha situación.

Ejemplos de vectores con sus componentes.

Las componentes de un vector se pueden obtener restando las coordenadas del extremo de un vector y de su origen.

Teniendo en cuenta los dos ejemplos anteriores.

4. ADICIÓN DE VECTORES. EJEMPLOS

Podemos servirnos del paralelogramo que consiste en colocar los dos vectores de modo que sus orígenes coincidan siendo los otros dos lados del paralelogramo las paralelas a cada uno de ellos:

Siendo a y b los vectores a sumar los unimos por sus orígenes y trazamos paralelas (color magenta) a cada uno de ellos creando un paralelogramo.

La diagonal (color negro) será el valor de la suma de dichos vectores

Otro método, disponiendo de papel cuadriculado es colocar un vector (b) a continuación del otro (a) y después, unir el origen de a con el final de b.

Segundo ejemplo:

Sumar más vectores no ofrece ninguna dificultad, es suficiente colocar el inicio del segundo vector a continuación del final del primero, inicio del tercero a partir del final del segundo y así, sucesivamente

5. VECTORES UNITARIOS

Los vectores unitarios tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

6. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. EJEMPLOS

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman si los vectores son no nulos y cero si uno de los dos vectores es nulo.

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo

Expresión analítica del módulo de un vector

Ejemplo

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Ejemplo

Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ejemplo

Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).

Propiedades del producto escalar

1Conmutativa

2 Asociativa

3 Distributiva

4

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

7. VECTOR COMBINACIÓN LINEAL

Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice que es una combinación lineal de y .

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal

El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores ?

CONCLUSIÓN

Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:

• Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremo).

• La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.

• El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.

• Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo (final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.

• Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.

BIBLIOGRAFÍA

Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes).

Tipler, Paul A. (2000) (en español). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté.

http://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml#ixzz2IT9LVTMI

www.vitutor.com/geo/vec/b_3.html

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