Derivación de funciones implícitas

Derivación de funciones implícitas

 La derivada de la función implícita[pic 1]definida mediante la ecuación [pic 2] puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula^[a]:

[pic 3], siempre que [pic 4]

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables [pic 5]definida mediante la ecuación [pic 6]puede calcularse mediante las fórmulas:

[pic 7]; [pic 8], siempre que [pic 9]

Dada la ecuación [pic 10]Si el punto [pic 11]cumple la ecuación [pic 12], la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de [pic 13]y [pic 14]entonces la ecuación [pic 15]define una función explícita [pic 16]en un entorno de[pic 17]con[pic 18]

Dada la ecuación [pic 19]Si el punto [pic 20]cumple la ecuación [pic 21], la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de [pic 22]y [pic 23]entonces la ecuación [pic 24]define una función explícita [pic 25]en un entorno de dicho punto.

Ejemplos^[b]

1. [pic 26]

[pic 27]

2. [pic 28]

[pic 29]

               ^[c]3. [pic 30]

[pic 31] 

 [pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Ecuación de la tangente y normal, longitud subnormal y subtangente.

 El subtangente es un término de la geometría analítica. Considere un punto en una curva diferenciable. Formamos la tangente. La proyección de la tangente a la abscisa es subtangente. Es una curva diferenciable en una posición tal que subtangente es la distancia entre el punto en el eje de abscisas, y el punto cero de la tangente. Usando la ecuación de la tangente al punto cero y por lo tanto obtiene el subtangente. La cantidad de subtangente la función es constante 1 es allí por todas las tangentes: Como una analogía a la normalidad hay subnormal. El subnormal es un término de la geometría analítica. Si una curva es diferenciable en un punto, el debajo de lo normal es la distancia entre el punto en el eje de abscisas y el punto cero de las normales. En la figura de al lado, la curva roja es considerado y representó en el verde normal. La proyección de la línea perpendicular al eje de abscisas es inferior a la normal. Usando la ecuación de la normal de se llega a cero y así subnormal. El importe de la función es inferior a la normal para todos normal, según corresponda: En parábolas que son simétricas con respecto al eje que tiene la misma longitud inferior a la normal en todos los puntos. Con la ecuación funcional donde y son parámetros fijos, el resultado es la longitud. Como una analogía a la tangente está el subtangente.

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