Desigualdas de chebishev

DESIGUALDAD DE CHÉBISHEV .

Para Variables Aleatorias Discretas o Continuas dado un intervalo simétrico respecto del valor esperado y sea E( X ) = μ , es decir que E( X ) existe y es finito, y la Disp( X ) = σ y es finita:

P[X - E( X ) £ t ×σ ]³ 1 - t −2

[pic 1][pic 2]

Se define P( X ) de que la variable tome valores equis-distantes en, a lo sumo, t veces el desvío ( t Î R/+ ). Cuanto mayor es t, la P( X ) se acerca más a 1, y cuandot = 1 la P( X ) = 0 .

Desarmando el valor absoluto la relación se puede e xpresar de la siguiente manera:

P[E( X ) - t ×σ £ X £ E( X ) + t ×σ ]³ 1 - 1

[pic 3]

t 2

En general no se conoce la distribución de la Varia ble Aleatoria, ni su E( X ) , ni su Disp( X ) . Este teorema sirva para hallar la P( X ) en un rango dado.

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS

La desigualdad de Chebyshev es una importante herramienta teórica. Entre otras aplicaciones constituirá un medio para comprender cómo la varianza mide la variabilidad de una dada variable aleatoria, con respecto a su esperanza matemática. También nos permitirá establecer con más precisión el hecho, reiteradamente señalando, de que la frecuencia relativa f A de un suceso A asociado a un experimento aleatorio ε tiende, cuando el número de repeticiones de ε se hace infinitamente grande, a la probabilidad P(A) (resultado conocido como la Ley de los grandes números). Pero además es de utilidad práctica pues, al constituir una cota de ciertas probabilidades, nos podrá servir como una estimación de esas mismas probabilidades.

Observación: La desigualdad lleva el nombre del matemático ruso que la descubrió. Su nombre aparece en una variedad de formas en la literatura: Chebyshev, Chebychev, Tchebyshev, etc.

                            P( X  − E ( X ) ≥ kσX  ) ≤        1

[pic 4][pic 5][pic 6]

k 2

igualdad porque la probabilidad no pude superar a 1.

Puesto que ε puede hacerse arbitrariamente pequeño, el teorema queda demostrado.

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