Determinantes

Propiedades de los Determinantes

Introducción.-

El desarrollo de determinantes es una parte importante en el estudio de la economía, ya que son estos los que nos permiten calcular diferentes variables socio-económicas como consumo, demanda, comportamiento del consumidor, exportaciones, importaciones, entre muchas más, es por ello que un estudiante de economía, debe abarcar muy bien estos temas de gran importancia para el desarrollo y la toma de decisiones en el ámbito profesional.

Como ya habíamos expuesto en el ensayo anterior, un determinante de una matriz cuadrada A es un número real asignado a ella y se simboliza por |A| o por det⁡(A).

El determinante de una matriz es el que mide si una matriz es invertible o no, en caso de que el determinante resultante sea cero quiere decir que la matriz no es invertible.

Los determinantes tienen sus propiedades que hacen que su solución sea un poco más fácil.

Desarrollo.-

Si una matriz A tiene una fila o columna de ceros, el determinante de A es cero.

Sea A=[■(0&0&0@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )]

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene:

det⁡〖A=(0)|■(a_22&a_23@a_32&a_33 )|-(0)|■(a_21&a_23@a_31&a_33 )|+(0)|■(a_21&a_22@a_31&a_32 )|=0〗

El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.

Esto es

det⁡〖A=det⁡〖A^T 〗 〗

Ejemplo:

Sea

A=[■(1&2@3&5)] det⁡〖A=(1)(5)-(3)(2)=-1〗

La transpuesta de A es

A^T=[■(1&3@2&5)] det⁡〖A^T=(1)(5)-(2)(3)=-1〗

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo

Sea

A=[■(0&3&-2@4&-1&3@0&2&7)] Con det⁡〖A=(-4)[(3)(7)-(2)(-2)]=-100〗

Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda

B=[■(4&-1&3@0&3&-2@0&2&7)] con det⁡〖B=(4)|■(3&-2@2&7)|=(4)[(3)(7)-(2)(-2)]=100=-det⁡A 〗

Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A=0.

Ejemplo:

Sea A=[■(1&-2&0@3&5&7@1&-2&0)] entonces det⁡〖A=(7)|■(1&-2@1&-2)|=(-7)[(1)(-2)-(1)(-2)]=0〗

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz es r veces el determinante de A, r det A.

Ejemplo:

Sea A=[■(0&3&-2@4&-1&3@0&2&7)] con det⁡〖A=(-4)[(3)(7)-(2)(-2)]=-100〗

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r=3 se tiene la matriz B siguiente:

B=[■(0&3&-2@4&-1&3@0&6&21)] Cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es det⁡〖B=(-4)|■(3&-2@6&21)|=(-4)[(3)(21)-(6)(-2)]=(-4)(75)=-300=3 det⁡A 〗

Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A, lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo:

Sea A=[■(0&3&-2@4&-1&3@0&2&7)] cuyo determinante det⁡〖A=(-4)[(3)(7)-(2)(-2)]=-100〗

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente:

B=[■(0&3&(2)(3)-2@4&-1&(2)(-1)+3@0&2&(2)(2)+7)]=[■(0&3&4@4&-1&1@0&2&11)]

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