Determinantes

INTRODUCCIÓN

El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de ecuaciones lineales (los llamados sistemas de cramer), discutir la existencia de solución de sistemas de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del teorema de Rouche Frobenious), y sirve para analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores (lo cual, entre otras cosas, nos permite identificar posibles bases de un espacio vectorial). Además la interpretación geométrica de los determinantes nos permite calcular, de forma sencilla, áreas y volúmenes de determinadas figuras geométricas, realizar productos vectoriales y hallar las ecuaciones de un plano en el espacio. 1

Existen muchos campos de aplicación de la teoría de los determinantes y, en general, de la teoría de matrices son muy amplios, y abarcan desde las más clásicas aplicaciones en las áreas de física, economía, e ingeniería, lo cual es muy importante para los estudiantes de ingeniería conocer que es un determinante, sus usos y sus diferentes formas en las cuales se puede hallar.

1. cienciasbasicas.edu.co/teoría de los terminantes y RAY WYLIE. Mc Graw Hill 4° edición.

OBJETIVOS

En el siguiente trabajo se tiene como objetivo principal conocer los conceptos más importantes acerca de los determinantes, como se hallan y por siguiente se hacen ejercicios propuestos por el docente, los cuales al realizarlos nos pueden traer innumerables conocimientos acerca de ellos.

Otro objetivo importante es conocer las reglas, teoremas y los pasos básicos sin cometer errores para poder hallar los determinantes.

DETERMINANTE

Definición:

a11 a12

Sea A = una matriz de 2 X 2. Det A = a11a22 – a12a21.

a21 a22

DEFINICIÓN 1: En matemáticas se define determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.2

DEFINICIÓN 2: el determinante es una función que se le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos det(A) o también o también por A (las barras no significan valor absoluto) 3

DEFINICIÓN 2.1: determinante de un matriz de orden 1.

Si A= (a) es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a

Ejemplo 1:

Si A= (-2), entonces det(A)= -2

Si A= (O), entonces det(a)= 0

Si A= (6), entonces det(A)= 6

2. diccio.mates.blogspot.com y

3. Algebra lineal, 6° edición, Stanley i. Grossman

DEFINICION 2.2: determinante de una matriz de orden 2.

Cuando A es una matriz de 2x2 hay 2!=2 permutaciones del par (1 2); estas son: ((1 2), (2 1)). Entonces, el determinante de A contendrá los dos términos:

a11a22.signatura (1 2) y a12a21.signatura (2 1)

Ejemplo2:

2 -1 A = a11a22 – a12a21

Sea A= 3 1 A = 2*1 – (-1)*3= 5

Esta es una forma práctica de avaluar el determinante de una matriz de 2x2.

DEFINICION 2.3: determinante de orden 3(asociados a matrices 3x3).

Si A es una matriz 3x3, su determinante de orden 3 vendrá dada por:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a31a12a23 + a21a32 a13 - a13 a22 a31 –

a31 a32 a33 a21 a12 a33 - a11 a23 a32.

Ejemplo 3:

1 4 -3

3 -2 1 = 1(-2)5 + 3(-1)(-3) + 4.4.1 –((-3)(-2).4 + 1.(-1)1+

4 -1 5 3.4.5)= -68

REGLA DE SARRUS

La regla de Sarrus es una de las operaciones más utilizada para encontrar el determinante de una matriz, a continuación se darán una serie de pasos de cómo podemos utilizar correctamente la regla de sarrus.4

1. Escribe la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se muestra a continuación

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22 = (a11 a22 a33 + a31a12a23 + a21a32 a13)- (a31a22a13+

a31 a32 a33 a31 a32 a32a23a11+ a33a21a12)

Ejemplo 4

4

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