Determinantes

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

U.E “ANDRES BELLO”

EDO – SUCRE

DETERMINANTES

REALIZADO POR:

• MIGUEL BRAVO

• CARLOS SOFIA

• GABRIELA COVA

• MILAGROS COLMENARES

INTRODUCCION

Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”.

Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el con inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes.

Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una memoria de 84 páginas que contenía la primera demostración del teorema detAB=detA detB. En 1840 Cauchy hizo muchas otras contribuciones a las matemáticas. En su texto de cálculo de 1829 Leçons sur le calcul différential, dio la primera definición razonablemente clara de límite.

Cauchy escribió ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Solo Euler escribió más. Cauchy hizo contribuciones en varias áreas, incluyendo la teoría de las funciones reales y complejas, la teoría de la probabilidad, geometría, teoría de propagación de las ondas y las series infinitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Carme), discutir la existencia de solución de sistemas de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teorema de Rouché Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores (lo cual, entre otras cosas, nos permitirá identificar posibles bases de un espacio vectorial). Además, la interpretación geométrica de los determinantes nos permite calcular, de forma sencilla, áreas y volúmenes de determinadas figuras geométricas, realizar productos vectoriales, y hallar las ecuaciones de un plano en el espacio.

Los campos de aplicación de la teoría de los determinantes y, en general, de la teoría de matrices son muy amplios, y abarcan desde las más clásicas aplicaciones en las áreas de física, economía, e ingeniería hasta aplicaciones más recientes como la generación de gráficos por ordenador, la teoría de la información [W1], y la criptografía.

DESARROLLO

DETERMINANTE

En Matemáticas se define el determinante como una forma multi-lineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Solamente tienen determinantes las matrices cuadradas. El determinante de una matriz cuadrada es un numero, el cual lo representamos cambiando los paréntesis por barras verticales

DETERMINANTE DE ORDEN 2

Sea A una matriz cuadrada de orden 2,

Se llama determinante de A al número real:

Es decir, el determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

DETERMINANTE DE ORDEN 3

Dada una matriz cuadrada A de orden 3,

Se llama determinante de A al número real:

La regla de Sarrus permite recordar fácilmente el desarrollo del determinante de una matriz de orden 3.

Los productos con signo " + ", están formados por los elementos de la diagonal principal, y los de las dos diagonales paralelas (por encima y por debajo), con su correspondiente vértice opuesto.

Los productos con signo " - ", se forman con los elementos de la diagonal secundaria y los de las dos diagonales paralelas, con su correspondiente vértice opuesto.

USO DE DETERMIANNTES PARA DETERMINAR LA MATRIZ INVERSA

La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tenga inversa (A-1) es que su determinante sea distinto de cero. En este caso, para calcularla, se divide la traspuesta de su adjunta entre el determinante de la matriz dada, es decir:

La siguiente escena realiza el cálculo de la matriz inversa de una dada, calculando el valor de su determinante, la matriz adjunta y, por último, aplicando la fórmula anterior.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Propiedad 1.

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