Determinante

Determinante

1 INTRODUCCIÓN

Determinante, notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los determinantes fueron originalmente investigados por el matemático japonés Seki Kowa alrededor de 1683 y, por separado, por el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta notación se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y en las ciencias naturales.

El símbolo es un determinante de segundo orden, pues es una tabla con dos filas y dos columnas; su valor es, por definición, a11a22 - a12a21. Un determinante de orden n-ésimo es una tabla cuadrada con n filas y n columnas como se muestra en la figura:

El adjunto menor, Mij, de un elemento cualquiera aij de la tabla es el determinante formado por los elementos restantes al eliminar la fila i y la columna j en las que aparece el elemento aij. El cofactor, Aij, de un elemento aij es igual a (-1)i+jMij.

2 EVALUACIÓN DE UN DETERMINANTE

El valor de un determinante se puede expresar usando los elementos de una fila (o columna) y sus respectivos cofactores; la suma de estos productos es el valor del determinante. Formalmente, esto se expresa como

si el desarrollo se hace en función de la fila i, o

si se hace en función de la columna j. De esta manera, para calcular el valor de un determinante de tercer orden utilizando los elementos de la primera columna

Estos términos se evalúan a su vez utilizando la definición dada anteriormente para el determinante de segundo orden.

Para determinantes de orden superior al tercero, el proceso se repite para los determinantes formados por los adjuntos menores, hasta llegar a determinantes que puedan desarrollarse fácilmente.

Este método de cálculo del valor de un determinante puede ser bastante laborioso, por lo que se utilizan ciertas propiedades de los determinantes para reducir la cantidad de cálculos necesarios. Entre estas propiedades, tenemos las siguientes:

1) Un determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila (o columna) son idénticos, o proporcionales, a los elementos de otra fila (o columna).

2) Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un factor dado, el determinante queda multiplicado por dicho factor.

3) El valor de un determinante no se altera si se añade a cada elemento de una fila (o columna) el elemento correspondiente de otra fila (o columna) multiplicado por un factor constante.

3 APLICACIONES

Una aplicación de los determinantes en la geometría analítica se muestra en el siguiente ejemplo: Si P1(x1, y1), P2(x2, y2), y P3(x3, y3) son tres puntos distintos en un plano de coordenadas cartesianas, el área A del triángulo P1P2P3, ignorando el signo algebraico, está dada por

Si los tres puntos son colineales, el valor del determinante es cero.

Los determinantes se utilizan también para resolver sistemas de ecuaciones de la siguiente manera. Las n ecuaciones a resolver se representan algebraicamente como

Se construye un determinante, Δ, utilizando estos coeficientes, y siendo Δk el determinante que se obtiene al eliminar la columna k y sustituirla por la columna de las constantes b1, b2, ... bn. Si Δ ≠ 0 las ecuaciones son consistentes y es posible encontrar una solución. Ésta está dada por

Si Δ = 0, es necesario investigar las razones para averiguar el número y la naturaleza de las soluciones.

Este es un ejemplo numérico. Dados:2x1 + 3x2 + 4x3 = 6, x1 + x2 + x3 = 3 y x1 - x2 + x3 = -1, entonces tenemos que x1 = Δ1 / Δ = 2. Si construimos Δ 2 y Δ3 el resultado es x2 = 2 y x3 = -1.

Métodos de cálculo

Artículos principales: Teorema de Laplace y Regla de Sarrus.

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.

Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.

La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).

En cualquiera de los sumandos, el término

denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:

La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.

Matrices de orden inferior

El caso de matrices de orden inferior (orden 1, 2 ó 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace.

Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos los casos. Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar, pero aquí la consideraremos una matriz cuadrada de orden uno:

El valor del determinante es igual al único termino de la matriz:

Los determinantes de una matriz de orden 2:

se calculan con la siguiente fórmula:

Dada una matriz de orden 3:

En determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

Determinantes de orden superior

El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su cofactor (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual al determinante.

En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismo método, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula).

La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. En el peor de los casos (sin obtener ceros en filas y columnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4 determinates de orden 3. En un determinante de orden 5, se obtienen 5 determinates de orden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinates de orden 3. El número de determinates de orden 3 que se obtienen en el desarrollo de un determinante de orden n es igual a

Por ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604.800 determinantes de orden 3.

También puede utilizarse el Método de eliminación Gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular. Si bien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los 14.529.715.200 de determinantes de orden 3 necesarios para calcular el determinante de una matriz de orden 14.

Determinantes en dimensión infinita

Bajo ciertas condiciones puede definirse el determinante de aplicaciones lineales de un espacio vectorial de Banach de dimensión infinita. En concreto en el determinante está definido para los operadores de la clase de determinante que puede a partir de los operadores de la clase de traza. Un ejemplo notable fue el determinante de Fredholm que éste definió en conexión con su estudio de la ecuación integral que lleva su nombre:

(*)

Donde:

es una función conocida

es una la función incógnita

es una función conocida llamada núcleo, que da lugar al siguiente operador lineal compacto y de traza finita en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el intervalo [0,1]:

:

La ecuación (*) tiene solución si el determinante de Fredholm no se anula. El determinante de Fredholm en este caso generaliza al determinante en dimensión finita y puede calcularse explícitamente mediante:

La propia solución de la ecuación (*) puede escribirse de manera simple en términos del determinante cuando este no se anula.

Primeros

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