Diferenciación Numérica.
Enviado por Josue1770 • 17 de Enero de 2017 • Apuntes • 320 Palabras (2 Páginas) • 81 Visitas
Diferenciación Numérica
[pic 1]
[pic 2]
Supóngase que son puntos distintos en algún intervalo y que Entonces, si[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
[pic 7]
Lo cual se conoce como “fórmula de puntos” para aproximar la derivada de [pic 8][pic 9]
Las fórmulas más comunes son aquellas que utilizan tres o cinco puntos.
Para tres puntos:
donde si[pic 10]
[pic 11][pic 12]
[pic 13][pic 14]
[pic 15][pic 16]
Ahora si: [pic 17]
Entonces:
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
De donde: [pic 22][pic 23]
Ejemplo:
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26] | [pic 27] | |
1.8 | 10.889365 | |
1.9 | 12.703199 | |
[pic 28] | 2.0 | 14.778112 |
[pic 29] | 2.1 | 17.148957 |
[pic 30] | 2.2 | 19.855030 |
[pic 31]
Para:
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Para:
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
Ejemplo:
[pic 39]
- [pic 40]
- [pic 41]
[pic 42]
Fórmulas con 5 puntos
[pic 43][pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
Ejercicio:
[pic 48]
Solución:
Primero con esta fórmula:
[pic 49]
[pic 50]
Segundo con esta fórmula:
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
Ejemplo:
[pic 54]
Solución:
Primero con fórmula de tres puntos:
[pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
Segundo con fórmula de 5 puntos:
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
Se puede derivar también métodos para encontrar aproximadamente a derivadas de orden superior a usando solamente valores tabulados de la en algunos puntos.[pic 61][pic 62]
En este caso, la interpretación de Lagrange no es lo más adecuado, una alternativa es utilizar desarrollos de Taylor.
Exponiendo entonces una en un polinomio de Taylor de 3er grado alrededor de obtenemos:[pic 63][pic 64][pic 65]
[pic 66]
Evaluando en [pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
- Sumando ambas expresiones se tiene:
[pic 70]
De donde:
[pic 71]
- Restando ahora ambas expresiones:
[pic 72]
De donde:
[pic 73]
Ejercicio:
[pic 74]
[pic 75]
x | 1.20 | 1.29 | 1.30 | 1.31 | 1.40 |
f(x) | 11.59006 | 13.78176 | 14.04276 | 14.30741 | 16.86187 |
Solución:
- [pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
[pic 79]
- [pic 80]
[pic 81]
Ejercicio:
1.-Usar fórmula de 3 & 5 puntos para completar la tabla siguiente:
x | f(x) | f´(x) |
-0.3 | -0.20431 | |
-0.1 | -0.08993 | |
0.1 | 0.11007 | |
0.3 | 0.39569 |
2.- Aproximar [pic 82]
x | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.0 |
f(x) | 0.979865 | 0.9177710 | 0.8080348 | 0.6386093 | 0.3843735 |
3.- Sea aproximar usando [pic 83][pic 84][pic 85]
Verificar si a partir de Lagrange se pueden generar fórmulas para segunda y tercera derivada.
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