Distribucion De Poisson

La distribución de Poisson

· Introducción

· La distribución de Poisson

· Propiedades

· Ejemplos

· Aproximación gaussiana

Técnicas experimentales de Física General 2/9

Introducción:

Desintegraciones radiactivas

Se sabe que una fuente radiactiva emite partículas alfa a un

ritmo de 1.5 por minuto. ¿Si medimos el número de

partículas alfa emitidas en dos minutos ¿ Cuál es el resultado

promedio esperado?¿Cuál es la probabilidad de observar

x = 0,1,2,3,4 ? ¿y la probabilidad de que x ³ 5 ?

Experimentos de contar sucesos

Distribución de Poisson

( )

!

x

P x e

x

m

m

= m -

Si en promedio esperamos m sucesos, la probabilidad de

obtener x, viene dada por Pm (x)

m = Número medio de sucesos esperados

Técnicas experimentales de Física General 3/9

Probabilidad de observar x sucesos

cuando el promedio es

m =1.5´ 2min = 3

3

3

3

( )

!

x

P x e

x

= -

Sucesos observados x 0 1 2 3 4

Probabilidad 5% 14% 22% 22% 17%

Pr ob(x ³ 5) =100%- (5+15 + 22 + 22 +17)% =19%

Distribución de Poisson para un valor medio de m = 3

Técnicas experimentales de Física General 4/9

La distribución de Poisson

l = Prob. por unidad de intervalo de ocurrir un suceso

lt = Sucesos en un tiempo t

l dt = Prob. de que ocurra un suceso en dt

(1-l dt) = Prob. de que no ocurra nada en dt

Hipótesis fundamental

La probabilidad l es tan pequeña que en el intervalo dt no

pueden producirse dos o más sucesos

¿Cuál es la probabilidad de que ocurran x sucesos en un

intervalo de t + dt?

1 ( ) ( )(1 ) ( ) x x x p t dt p t l dt p t l dt - + = - +

[ ] 1

x

x x

dp

p p

dt

l - = -

( )

! !

x x

t t

x

t

p e e

x x

l m l m l - = m - = = ¾¾¾® =

Técnicas experimentales de Física General 5/9

Propiedades

☛ Condición de normalización

0

( ) 1

x

P x m

¥

=

Σ =

☛Valor medio

0 0

( )

!

x

x x

x xP x x e

x

m

m

m m

¥ ¥

-

= =

=Σ = Σ =

☛Desviación típica

2 2

0

( ) ( )

x

x x P x m s m

s m

¥

=

= - =

=

Σ

Cuando realizamos un experimento de contar sucesos

y obtenemos un valor x , el resultado con su error es:

x ± x

Técnicas experimentales de Física General 6/9

Ejemplos

Más desintegraciones radiactivas

Un estudiante observa que una muestra de Torio emite 49

partículas en 30 minutos ¿Cuál es la tasa de emisión?¿Cuál

es la tasa en partículas por minuto?

(Part. en 30 minutos ) = 49 ± 49 = 49 ± 7

49 7

1.6 0.2 part/min

30

R

= ± = ±

Técnicas experimentales de Física General 7/9

Ejemplo

En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero

pone un huevo al día. Si se recogen los huevos cada hora

¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen en cada

visita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevos

para x = 0,1,2,3? ¿y la probabilidad de que x ³ 4 ?

Promedio : m =1´18/ 24 = 0.75 huevos / hora

Sucesos observados x 0 1 2 3 x ³ 4

Probabilidad(%) 47.2 35.4 13.3 3.3

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