Distribucion De Poisson
cata3506 de Octubre de 2013
33.840 Palabras (136 Páginas)486 Visitas
DISTRIBUCION DE POISSON
(Siméon Denis Poisson )
Puede utilizarse la distribución Pisson para determinar la probabilidad de que ocurra un número designado de eventos, cuando estos ocurren en un continuo tiempo o espacio. A un proceso como este se le denomina proceso Pisson; es similar al proceso Bernoulli, excepto en que los eventos ocurren en un continuo intervalo de tiempo en vez de ocurrir en ensayos u observaciones fijas. Un ejemplo es la entrada de llamadas en un conmutador telefónico. Al igual que en el caso Bernoulli, se supone que los eventos son independientes y que el proceso es estacionario.
Si x es el número de ocurrencias de un evento aleatorio en un intervalo de tiempo o espacio, la probabilidad de que ocurra x esta dado por:
℮- α ( α )x
P( x ) = -------------- =
x !
Donde: x = 0,1,2,3,…; es el número de ocurrencias de un evento.
α = Es el parámetro de la distribución y es el número promedio de
Ocurrencias del evento aleatorio en el intervalo.
℮ = Es la constante 2.7183
Puede demostrarse también que:
1.- P( x ) ≥ 0
2.- Σ P( x ) = 1
De modo que la distribución de Poisson satisface los requerimientos para la distribución de probabilidad, además cumple con las siguientes proposiciones:
1.- La ocurrencia de los eventos son independientes.
2.- Teóricamente debe ser posible un número infinito de ocurrencias del evento en el
intervalo.
3.- Una particularidad de la distribución es que la varianza y la media son iguales.
La distribución Poisson tiene muchas aplicaciones, así mismo mencionáremos que este tipo de distribución se utiliza cuando se tienen probabilidades grandes u sucesos o eventos pequeños.
Ejemplos.
1.- El administrador de un hospital a observado que las admisiones de emergencia
durante un periodo de varios años se distribuyen de acuerdo a la ley de acuerdo a
la ley de Pisson. Los registros del hospital revelan que durante este periodo han
sido de un promedio de 3 por día. Si el administrador del hospital está en lo
cierto, hallar la probabilidad de que:
En un día dado ocurran exactamente dos admisiones.
℮ = 2.7183 ( 2.7183 )-3 ( 3 )2
α = 3 P( 2 ) = -------------------- = 0.2240373146
x = 2 2!
En un día particular no ocurra admisión alguna.
x = 0 ( 2.7183 )-3 ( 3 )0
P( 0 ) = -------------------- = 0.049786069
0!
En un día particular se admiten 3 ó 4 casos
x = 3 ó 4 (2.7183)-3 ( 3 )3
P( 3 ) = -------------------- = 0.2240373145
3!
( 2.7183 )-3 ( 3 )4
P( 4 ) = -------------------- = 0.1680279859
4! --------------------
P( 3 ó 4) = 0.3920653004
2.- El 10% de los tornillos producidos por una fabrica resultan defectuosos. Hallar la
la probabilidad de que en una muestra de 10 tornillos seleccionados
aleatoriamente, exactamente dos están defectuosos.
Empleando la distribución binomial
p = 0.1
q = 0.9 P( 2 ) = 10C2 • ( 0.1 )2 • ( 0.9 )8 = 0.1937102445
n = 10
x = 2
Empleando la distribución Poisson
℮ = 2.7183
α = n • p = ( 10 ) ( 0.1 ) = 1 ( 2.7183 )-1 ( 1 )2
x = 2 P( 2 ) = -------------------- = 0.183938491
4!
3.- Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un
determinado suero es 0.001; determinar la probabilidad de que de un total de 200
individuos.
Exactamente 3 tengan reacción
℮ = 2.7183
α = n • p = ( 200 ) ( 0.001 ) = 0.2 ( 2.7183 )- 0.2 ( 0.2 )3
x = 3 P( 3 ) = ----------------------- = 0.001091639545
3!
Más de dos individuos tengan la reacción
P( x ≥ 3 )
( 2.7183 )- 0.2 ( 0.2 )0
P(x ≥ 3 ) = P( 0 ) = ----------------------- = 0.8187296585
0!
( 2.7183 )- 0.2 ( 0.2 )1
P( 1 ) = ----------------------- = 0.1637459307
1!
( 2.7183 )- 0.2 ( 0.2 )2
P( 2 ) = ----------------------- = 0..0163745931
2! -----------------
P(x ≥ 3 ) = 0.9988501832
P(x ≥ 3 ) = 1 - 0.9988501832 = 0.0011498168
4.- Se sabe que el número promedio de accidentes en una sección dada de una
autopista es de 3 por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que:
No ocurra accidentes durante una semana?
℮ = 2.7183
α = 3 ( 2.7183 )- 3 ( 3 )0
x = 0 P( 0 ) = ----------------------- = 0.049786069
0!
Ocurran exactamente 2 accidentes en una semana dada?
x = 2
( 2.7183 )- 3 ( 3 )2
P( 2 ) = ----------------------- = 0..022403
2!
Ocurran 3 o más accidentes en una semana particular?
( 2.7183 )- 3 ( 3 )0
P(x ≥ 3 ) = P( 0 ) = ----------------------- = 0.049786069
0!
( 2.7183 )- 3 ( 3 )1
P( 1 ) = ----------------------- = 0.149358207
1!
( 2.7183 )- 3 ( 3 )2
P( 2 ) = ----------------------- = 0.2240371314
-------------------
P( x ≥ 3 ) = 0.423181586
P( x ≥ 3 ) = 1 - 0.423181586 = 0.576818414
5.- El número promedio de llamadas por minuto recibidas en un taller de servicios de
televisión es de 1.2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado.
Se reciban menos de dos llamadas
℮ = 2.7183
α = 1.2 ( 2.7183 )- 1. 2 (1.2 )0
x ≤ 2 P( 0 ) = ----------------------- = 0.301191795
0!
( 2.7183 )- 1. 2 ( 1.2 )1
P( 1 ) = ----------------------- = 0.361430154
1! ------------------
P( x ≤ 2 ) = 0.66262195
Se reciban más de tres llamadas
(
...