Distribucion De Poisson

4.2 CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DE LINEAS DE ESPERA

Si los tiempos entre llegadas son exponenciales, la distribución de probabilidad de la cantidad de llegadas que suceden en cualquier intervalo de duración t esta dada por el importante teorema siguiente:

TEOREMA 1

Los tiempos entre llegadas son exponenciales, con el parámetro λ, si y sólo si la cantidad de llegadas en un intervalo de duración t sigue una distribución Poisson con parámetro λt.

Una variable discreta aleatoria N sigue una distribución de Poisson con parámetro λ si, para n = 0,1,2,……

P(N = n) = e-λ λn (n = 0,1,2,….)

n!

Si N es una variable aleatoria tipo Poisson, se puede demostrar que E(N) = λ.

Si definimos Nt como la cantidad de llegadas que ocurre durante cualquier intervalo de duración t, el teorema 1 establece que

P(N = n) = e-λ (λt)n (n = 0,1,2,….)

n!

Como Nt es Poisson con parámetro λt, λt, E(Nt) = var Nt = λt. Un promedio de llegadas se presenta durante un intervalo de duración t, de modo que se podría pensar que λ es el promedio de llegadas por unidad de tiempo, o bien, tasa de llegadas.

¿Qué su pociones se requieren para que los tiempos entre llegadas sean exponenciales? El teorema 2 ofrece parte de la respuesta. Piense en las siguientes dos suposiciones:

1. Las llegadas definidas en intervalos de tiempos que no se traslapan son independientes (por ejemplo, las llegadas que se presentan entre los tiempos 1 y 10 no ofrecen información acerca del número de llegadas entre los tiempos 30 y 50). presente una llegada entre los tiempo t + ∆t es λ∆t + o (∆t), donde o (∆t) se refiere a cualquier cantidad que satisfaga.

Lim 0(∆t) = 0

∆t 0 ∆ t

Asimismo, la probabilidad de que no haya ninguna llegada durante el intervalo entre t y t + ∆t es 1 - λ∆t + o (∆t), y la probabilidad de que haya mas de una llegada entre t y t + ∆t es o (∆t).

TEOREMA 2

Si las supociones 1 y 2 se sostienen, entonces Nt sigue una distribución Poisson con parámetro λt, y los tiempos entre llegadas son exponenciales con parámetro λ; es decir, a (t) = λe-λt.

En esencia, el teorema 2 establece que si la tasa de llegada es estacionaria, si las llegadas en masa no ocurren y si las llegadas anteriores no afectan las llegadas futuras, entonces los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial con parámetro λ, y la cantidad de llegadas en cualquier tiempo de duración t es Poisson con parámetro λt. Las supociones del teorema 2 podrían parecer demasiado restrictivas, pero los tiempos entre llegadas son, con frecuencia, exponenciales incluso si las supociones del teorema 2 no se satisfacen. La manera en que se usan los datos para probar si las hipótesis de los tiempos entre llegadas exponenciales es razonables. En muchas aplicaciones, resulta que la suposición de los tiempos entre llegadas exponenciales es una muy buena aproximación de la realidad.

2. Para ∆t pequeñas (y cualquier valor de t), la probabilidad de que se

Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo.

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña.

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc.

- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.

- # de bacterias por cm2 de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

Dónde:

p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l

l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Ejemplos:

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

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