Distribución De Poisson

3.6. Distribución Multinomial

Una importante y útil variable aleatoria de mayor dimensión tiene una distribución conocida como distribución Multinomial. Suponga que un experimento E con espacio muestra L se particiona en K eventos mutuamente excluyentes, digamos B1, B2,…, Bk. Consideremos n repeticiones independientes de E y dejemos que pi= P (B ¡) sea constante de ensayo a ensayo, para i= 1,2,… , k. si k=2, tenemos ensayos de Bernoulli como los descritos anteriormente. [X1, X2,…, XK], tiene la siguiente distribución, donde Xi es el número de veces que Bi ocurre en las n repeticiones de E, i= 1, 2,…, k.

Ejemplos:

1. Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención a) 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren?, b) 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?, c) 5 hayan llegado en auto?

R=

a) n = 9

x1= # de delegados que llegan por aire = 3

x2= # de delegados que llegan en autobús = 3

x3= # de delegados que llegan en auto = 1

x4= # de delegados que llegan en tren = 2

p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40

p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20

p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30

p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10

p(x1=3, x2=3.x3=1, x4= 2; n = 9) 9! / 3.3.1.2. (0.40)3(0.20)3(0.30)1(0.10)2=0.0077414

b) n=9

x1 = 4 por aire; p1 = 0.40

x2 = 1 en autobús; p2 = 0.20

x3 = 2 en auto; p3 = 0.30

x4 = 2 en tren; p4 = 0.10

p(x1=4, x2=1,x3=2, x4= 2; n = 9) 9 / 4.1.2.2.(0.40)4(0.20)1(0.30)2(0.10)2=0.15676

c)

n=9

x1= 5 lleguen en auto; p1 = 0.30

x2 = 4 (lleguen por aire o autobús o tren); p2 = 0.40+0.20+0.10 = 0.70

p(x1= 5,x2= 4;n= 9)= 9/5.4.(0.30)5(0.70)4= 0.073514

2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros.

R=

a)

n = 8

x1 = 5 rojos; p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50

x2 = 2 negros; p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25

x3 = 1 blanco; p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25

p(x1=5, x2=2,x3=1; n = 8) 8 / 5.2.1. (0.50)5(0.25)2(0.25)1=0.082031

b)

n=8

x1 = 3 rojos; p1 = 0.50

x2 = 2 negros; p2 = 0.25

x3 = 3 blancos; p3 = 0.25

p(x1=3, x2=2,x3=3; n = 8) 8 / 3.2.3. (0.50)3(0.25)2(0.25)3=0.068359

3. Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) 2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul.

R=

b) n = 6

x1= 2 voten por partido verde; p1= prob. De que una persona vote por partido verde = 0.52

x2= 1 vote por partido azul; p2 = prob. De que una persona vote por partido azul = 0.40

x3= 3 voten por otros partidos; p3 = prob. De que una persona vote por otros partidos = 0.08

p(x1=2, x2=1,x3=3; n = 6)= 6 / 2.1.3. (0.52)2(0.40)1(0.08)3=0.0033226

b)n = 6

x1= 2 voten por el partido verde; p1= prob. De que una persona vote por partido verde=0.52

x2= 4 vote por partido azul; p2 = prob. De que una persona vote por partido azul = 0.40

x3= 0 voten por otros partidos; p3 = prob. De que una persona vote por otros partidos = 0.08

3.7. Distribución de Poisson

Una de las distribuciones discretas más útiles es la de Poisson. La distribución de Poisson puede desarrollarse de dos maneras, y ambas son instructivas, ya que indican en qué circunstancias practicas puede aplicarse esta variable aleatoria. El primer desarrollo implica la definición de un proceso de Poisson. El segundo muestra la distribución de Poisson como una forma límite de la distribución

Ejemplos:

1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

R=

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3,….., etc., etc.

l = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

P(x= 4l=6) = (6)4 (2.718)-6/4 = (1296) (0.00248)/24= 0.13392

b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3,…..., etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos

P(x= 10l=12) = (12)10(2.718)-12/10= (6.1917364E10) (0.000006151)/3628800= 0.104953

2. Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defectos en la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿calcular la probabilidad de que 10 de ellas tengan defectos en la vista?

n=50

p=0.2

Lambda=10 p(x=10)= (e-10)(1010))/10=0.12511

3. La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

R=

Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.

3.8. Aproximación de la Binomial por la de Poisson.

En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n ¥® (n es muy grande) y p®0 (p es muy pequeña), por lo que:

Ejemplos:

1. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.

R=

a) n = 100

p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito)

q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso)

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

p(x=2,n=100,p=0.05)=100 C2 (0.05)2(0.09)98 = (4950) (0.05)2 (0.95)98 = 0.0812

b)n = 100 encuadernaciones

p = 0.05

l = np = (100)(0.05)= 5

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

P(X=2, l=5)= lX Ɛ-2/X! = (5)2 (2.718)-5/2= 0.0843

c) Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.

R=

d) n = 3840 generadores

p = 1/1200 = probabilidad de que un generador falle durante el año de garantía

l = np = (3840) (1/1200) = 3.2 motores en promedio pueden fallar en el año de garantía

x = variable que nos define el número de motores que pueden fallar en el año de garantía =

= 0, 1, 2, 3,….,3840 motores que pueden fallar en el año de garantía

P(X=4l= 3.2) (3.2)4 (2.718)-32/4 = 0.17815

e) p(x=2, 3,4,….,3840;l=3.2)=1-p(x=0,1;l=3.2) =

=1((3.2)0(2.718)-32/0 + (3.2)1 (2.718)-32/1)

=1- (0.04078 + 0.13048) = 0.82874

2. En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas?

R=

n = 8000 piezas

p = 1/1000= 0.001 probabilidad de que una pieza tenga 1 o más burbujas

l = np = (8000)(1/1000)

...