EJERCICIOS

EJERCICIOS

1. Dibuje gráficas de las siguientes líneas rectas:

a) y = 5x + 3 b) y = -2x + 4 c) y = -3x - 6

2. Encuentre las pendientes de las líneas rectas descritas en el ejercicio 1.

Respuestas a) 5 b) -2 c) -3

3. Encuentre las pendientes de las líneas rectas que pasan por los siguientes conjuntos de puntos

a) (0,-4) y (4, 2), b) (0,0) y (2,-5), y c) (-5,2) y (4,-2)

Respuestas a) 3/2 b) -5/2 c) -4/9

Logaritmos

Suponga que la cantidad X se expresa como una potencia de alguna cantidad a:

x = a

El número a se conoce como base. El logaritmo de x respecto de la base a es igual al exponente al cual debe elevarse la base con el fin de satisfacer la expresión x = a.

y = loga x

Inversamente, el antilogaritmo de y es el número x:

x = antiloga y

En la práctica, las dos bases que se usan con mayor frecuencia son la base 10 denominada la base logarítmica común, y la base e = 2.718…, que recibe el nombre de base logarítmica natural. Cuando se usan logaritmos comunes,

y = log10 x (o x = 10y)

Cuando se usan logaritmos naturales,

y=lne X (o x = ey)

Por ejemplo, log10 52 = 1.716, por lo que antilog10 1.716 = 101.716 = 52. De igual modo lne 52 = 3.951, de modo que antiln, 3.951 = 3.951 = 52.

En general, observe que usted puede convertir entre la base 10 y la base e con la igualdad

lne x = (2.302585) log10x

Por último, algunas propiedades útiles de los logaritmos son

log (ab) = log a + log b

log(a/b) = loga - log b

log(a”) = n log a

In e = 1

In ea = a

ln 1 = -ln a

a

Resolución de ecuaciones lineales simultaneas

Considere la ecuación 3x + 5y = 15, la cual tiene dos incógnitas, x y y. Esta ecuación no tiene una solución única. En vez de eso (x = 0, y = 3), (x = 5, y = 0) y (x = 2, y = 9/5, son todas soluciones de esta ecuación.

Si un problema tiene dos incógnitas, una solución única es posible sólo si tenemos dos ecuaciones. En general, si un problema tiene n incógnitas, su solución requiere n ecuaciones. Con el propósito de resolver dos ecuaciones simultáneas que implican dos incógnitas, x y y. resolvemos una de las ecuaciones respecto de x en función de y sustituimos esta e>presión en la otra ecuación.

EJEMPLO 2

Resuelva las siguientes dos ecuaciones simultáneas:

1) 5x+y-8

2) 2x—2y=4

Solución De 2), x = y + 2. La sustitución de esto en 1) produce

5(y+ 2) + y = -8

6y= -18

y= -3

x = y + 2 = -1

Solución alternativa Multiplique cada término en 1) por el factor 2 y sume el resultado a 2):

10x + 2y = -16

2x – 2y = 4

12x = -12

x= -1

y = x-2 = -3

Dos ecuaciones lineales que contienen dos incógnitas pueden resolverse también mediante un método gráfico. Si las líneas rectas correspondientes a las dos ecuaciones se grafican en un sistema de coordenadas convencional, la intersección de las dos líneas representa la solución. Por ejemplo, considere las dos ecuaciones

x – y = 2

x – 2y = -1

Éstas se grafican en la figura B.3. La intersección de las dos líneas tiene las coordenadas x = 5, y = 3. Esto representa la solución a las ecuaciones. Usted debe comprobar esta solución por medio de la técnica analítica analizada antes.

EJERCICIOS

Resuelva los siguientes pares de ecuaciones simultáneas que comprenden dos incógnitas:

Respuestas

1. x + y = 8 x = 5, y = 3

x – y = 2

2. 98 - T = 10a T = 65, a = 3.27

T - 49 = 5a

3. 6x + 2y

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