Ecuaciones Simultaneas

3.10. Orden conveniente para Jacobi

En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi la matriz no es diagonalmente dominante y por tanto no existir´a garant´ıa de convergencia. Sin embargo, en algunos casos ser´a posible reordenar las inc´ognitas en otra manera

de forma que la nueva matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante. Esto se puede detectar revisando

todos los posibles ordenamientos de las inc´ognitas y ver c´omo es la matriz resultante. Claro que esto conlleva

un bueno n´umero de pruebas pues el n´umero posible de ordenamientos en n variables es (n − 1)! pero cuando

n es reducido es sencillo. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 3.4

Indique cu´al es el orden conveniente para aplicar Jacobi al sistema:

3 x + 12y − z = −2

11 x − 4y + 3z = −3

−3 x − 2y − 12z = −2

→





3 12 −1

11 −4 3

−3 −2 −12





Soluci´on

Con el orden y → x → z el sistema y su matriz de coeficientes quedan:

12y + 3 x − z = −2

− 4y + 11 x + 3z = −3

− 2y − 3 x − 12z = −2

→





12 3 −1

−4 11 3

−2 −3 −12





la matriz de coeficientes es diagonalmente dominante 

53.11. El M´etodo de Gauss-Seidel: Idea

El m´etodo de Gauss-Seidel es muy semejante al m´etodo de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza

el valor de las inc´ognitas para determinar una nueva aproximaci´on, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los

valores de las inc´ognitas recien calculados en la misma iteraci´on, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el

m´etodo de Jacobi se obtiene en el primer c´alculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente

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