Ecuaciones Simultaneas

3.10. Orden conveniente para Jacobi

En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi la matriz no es diagonalmente dominante y por tanto no existir´a garant´ıa de convergencia. Sin embargo, en algunos casos ser´a posible reordenar las inc´ognitas en otra manera

de forma que la nueva matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante. Esto se puede detectar revisando

todos los posibles ordenamientos de las inc´ognitas y ver c´omo es la matriz resultante. Claro que esto conlleva

un bueno n´umero de pruebas pues el n´umero posible de ordenamientos en n variables es (n − 1)! pero cuando

n es reducido es sencillo. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 3.4

Indique cu´al es el orden conveniente para aplicar Jacobi al sistema:

3 x + 12y − z = −2

11 x − 4y + 3z = −3

−3 x − 2y − 12z = −2

→





3 12 −1

11 −4 3

−3 −2 −12





Soluci´on

Con el orden y → x → z el sistema y su matriz de coeficientes quedan:

12y + 3 x − z = −2

− 4y + 11 x + 3z = −3

− 2y − 3 x − 12z = −2

→





12 3 −1

−4 11 3

−2 −3 −12





la matriz de coeficientes es diagonalmente dominante 

53.11. El M´etodo de Gauss-Seidel: Idea

El m´etodo de Gauss-Seidel es muy semejante al m´etodo de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza

el valor de las inc´ognitas para determinar una nueva aproximaci´on, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los

valores de las inc´ognitas recien calculados en la misma iteraci´on, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el

m´etodo de Jacobi se obtiene en el primer c´alculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente

iteraci´on. En el m´etodo de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata

para calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las

variables recien calculadas.

3.12. M´etodo de Gauss-Seidel: Ejemplos

Ejemplo 3.5

Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del m´etodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:



5 x + 2y = 1

x − 4y = 0 

Soluci´on

Debemos primeramente despejar de la ecuaci´on la inc´ognita correspondiente.

x = 0.20 + 0.00 x − 0.40y

y = 0.00 + 0.25 x + 0.00y

Aplicamos la primera iteraci´on partiendo de x0 = 1.00 y y0 = 2.00:

x1 = 0.20 + 0.00 (+1.000) − 0.40 (2.00) = −0.600

y1 = 0.00 + 0.25 (−0.600) + 0.00 (2.00) = −0.15

Aplicamos la segunda iteraci´on partiendo de x1 = −0.600 y y1 = −0.15:

x2 = 0.20 + 0.00 (−0.600) − 0.40 (−0.15) = 0.26

y2 = 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (−0.15) = 0.065

Aplicamos la tercera iteraci´on partiendo de x2 = 0.26 y y2 = 0.065:

x2 = 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.065) = 0.174

y2 = 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.174) = 0.0435 

Ejemplo 3.6

Partiendo de (x = 1, y = 2, z = 0) aplique dos iteraciones del m´etodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:





10 x + 0y − z = −1

4 x + 12y − 4z = 8

4 x + 4y + 10z = 4





Soluci´on

Debemos primeramente despejar de la ecuaci´on la inc´ognita correspondiente.

x = −0.10 + 0.00 x + 0.00y + 0.10z

y = 0.66 − 0.33 x + 0.00y + 0.33z

z = 0.40 − 0.40 x − 0.40y + 0.00z

6Aplicamos la primera iteraci´on partiendo de x0 = 1.00, y0 = 2.00, y z =

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