Ecuaciones

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

• Orden de la matriz: El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por un par de números naturales; m y n.

figura 1.1

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].

Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas.

Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.

Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 (figura 1.1), sería de la siguiente forma:

am,n es a2,3

m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.

Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a una "caja", "cuadro", etc. que contiene mxn números reales dispuestos en m filas y n columnas.

* A los números reales aij se les llama elemen¬tos de la matriz.

* El primer subíndice (i) indica la fila, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a32 es el que está en la tercera fila y la segunda columna.

* Las dimensiones de la matriz son m y n.

Formalmente podemos definir una matriz de la siguiente manera:

Sean I={1,2,...,m}, J={1,2,...,n} dos conjuntos finitos de índices.

Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a toda aplicación:

a: IxJ %%%%> R

(i,j) %%%> a(i,j)=aij

que asocia a cada par (i,j) el número real a(i,j) que representamos por aij.

Denotaremos por Mmxn al conjunto de las matrices de orden mxn.

ð

Es una matriz de orden 3x4 (3 filas, 4 columnas), a23=-1, a32=8, a34=0. etc.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1n.

Ejemplo

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m 1.

Ejemplo

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n  n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Ejemplo

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n  m.

Ejemplo

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji i, j.

Ejemplos

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji  i, j.

Ejemplos

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Ejemplos

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Ejemplos

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplos

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Ejemplos

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0  i<j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 j<i

2. IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales

Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.

4. SUMA DE MATRICES

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A + B es otra matriz S = (sij) de la misma dimensión, de modo que cada elemento sij de la matriz S, se obtiene como: sij = aij + bij. Es decir, para que dos matrices A y B se puedan sumar tienen que tener la misma dimensión y, en este caso, se suman los elementos que ocupan la misma posición.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

1ª Conmutativa: A + B = B + A

2ª Asociativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C )

3ª Elemento neutro: 0 ( matriz cero o matriz nula ).

0 + A = A + 0 = 0

4ª Elemento simétrico: - A ( matriz opuesta de A ).

A + ( -A ) = ( -A ) + A = 0

La opuesta de la matriz A se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz A: - (aij) = (-aij).

6. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Dado un número real k y una matriz A = (aij) de dimensión m x n, se define el producto del número real k por la matriz A, como otra matriz P = (pij) de la misma dimensión que A, de modo que cada elemento pij de P se obtiene como: pij = k.aij.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Sean A y B matrices de la misma dimensión y k y h números reales. Se verifica:

1ª Distributiva respecto de la suma de matrices: k . ( A + B ) = k . A + k . B

2ª Distributiva respecto de la suma de números reales: ( k + h ) . A = k . A + h . A

3ª Asociativa mixta (entre números y matrices): ( k . h ) . A = k . ( h . A )

4ª Elemento neutro: 1 ( número real 1 ) 1 . A = A

5. DIFERENCIA DE MATRICES

La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que sumarle a la primera la opuesta de la segunda: A - B = A + ( -B ).

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A - B es otra matriz D = (dij) de la misma dimensión, de modo que cada elemento dij de la matriz D, se obtiene como: dij = aij - bij.

PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA

En cursos anteriores se ha estudiado el producto escalar de vectores, que en el caso de R2, se definía de la forma siguiente:

Si u = (a , b) y v = (c , d) son dos vectores, su producto escalar es: u . v = a . c + b . d.

De forma análoga, se puede definir el producto de una matriz fila por una matriz columna:

Es evidente que el número de elementos de la matriz fila tiene que ser igual al número de elementos de la matriz columna

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8. PRODUCTO DE MATRICES

El producto de matrices no está definido en todos los casos. Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que el número de columnasde la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz, es decir, si la matriz A = ( aij ) tiene dimensión m x n y la matriz B = ( bij ) tiene dimensión p x q, para que se pueda efectuar el producto A . B es necesario que n = p. Por otra parte, la matriz producto P = ( pij ) tendrá por dimensión m x q, es decir, el número de filas de la matriz A y el número de columnas de la matriz B. Cada elemento pij de la matriz P se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B, siguiendo el procedimiento descrito en el punto anterior.

• 1. Operaciones ElementalesSe llama operación elemental realizada en una matriz a cualquiera de las transformaciones siguientes:

• 2. 1. Cambiar entre si dos filas de la matriz. Se puede representar por , siendo y dos filas de la matriz.2. Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero, se representa por . 3. Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número real. Se representa por .

• 3. Las operaciones elementales de filas son de gran importancia en el estudio de “Matrices”, ya que nos permite: 1. Escalonar a una matriz.2. Reducir por filas a una matriz.3. Escalonar y reducir por filas a una matriz.

• 4. Dos matrices A y B son equivalentes, si una de ellas se puede obtener a partir

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