El conjunto de números naturales

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Sus características estructurales más importantes son:

 2. Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable

 3. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)

 4. Admiten relación de orden

 5. Admiten relación de equivalencia

 6. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).

 7. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.

 8. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:

 9. Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto C de los números complejos.

 10. El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del Dominó o de Llaves.

Por todo ello, es necesario comprender la distincíón entre conjunto numérico y conjunto de números, que es una mera agrupación de números sea o no estructurada.

Conjunto de los números naturales

Surgieron en el proceso de aprendizaje que tuvo el hombre cuando descubrió la forma de contar. Son los números más simples de los que hacemos uso, están formados por los números 1,2,3,4,5...

Su construcción axiomática parte de los axiomas de Peano, que a partir de un primer elemento, el uno, se genera el elemento siguiente, y el siguiente del siguiente, de tal forma que obtenemos un conjunto, que si bien está acotado inferiormente (es la única excepción existente entre los conjuntos numéricos), no lo está superiormente, por lo que podemos conjeturar que este conjunto tiene un número infinito de elementos, se admite que el cardinal del conjunto es un tipo específico de infinito, denominado Alef-0, que es "ligeramente menos infinito que otros cardinales alef".

El cardinal del conjunto de los números naturales es infinito, concretamente se define ese infinito como Álef cero (o alef sub cero) -álef es la primera letra del alfabeto hebreo- o cardinal natural:

La axiomática natural o de Peano, ayuda a establecer en como un conjunto referencial para la numerabilidad de ordinales en otros conjuntos, sean o no numéricos, de tal forma, que llegándose a la equipotencia, pueden establecerse isomorfías entre estructuras algebraicas.

Por otro lado, esta axiomática ayuda a la demostración matemática con los teoremas de inducción.

El conjunto de los números enteros

Los números enteros pueden definirse de la siguiente forma: Sean dos números cualesquiera cuyo resultado en la división sea entera (no arroje ningún resto, o el resto sea cero) el resultado obtenido es un número entero.

Otra definición de número entero es el número periódico de la forma z'000000....

Desde el punto de vista de integridad, se abstrae hacia el número entero aquellos objetos de la naturaleza que siendo contables, pierden su naturaleza intrínseca si se realiza en ellos una partición.

Por eso, cuando uno desea comprar huevos, lo hace en número, es decir, por unidades, decenas, docenas y cartones -uso localista de Andalucía (España)- (un cartón son dos docenas y media, o sea, 30 huevos). Ya que son contables.

Si los huevos se vendiesen al peso, alguien podría solicitar 550 g. y resultar que le corresponderían 9 huevos y medio, para lo cual, el tendero tendría que hervir un huevo, partirlo por la mitad y vendérselo al cliente. Estrictamente ha cumplido su compromiso, pero desde el punto de vista íntegro, es un sinsentido, ya que el cliente nunca ha solicitado medio huevo cocido, pero se ha tenido que realizar un transformación que le ha hecho perder su naturaleza intrínseca para poder realizar una partición.

De ahí, que cuando se dice, que en España, la media de nacimientos por parejas es de 1,6 hijos. Estamos hablando de un promedio, lógicamente, habrán matrimonios sin hijos, de 1 hijo/a, de 2 hijos, etc.. pero nunca de 1,6 hijos.

Números Racionales

Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas partes de la unidad. Se denotan por y son todos aquellos fraccionarios que se pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y , como por ejemplo: 3/5, - 2/3. etc. En general:

Los números enteros son también racionales porque se les puede colocar como denominador la unidad (1). También se consideran

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