El trabajo en mecánica Trabajo de una fuerza

El trabajo en mecánica

Trabajo de una fuerza.

Consideremos una partícula P sobre la que actúa una fuerza F, función de la posición de la partícula en el espacio, esto es F=F(\mathbf r) y sea \mathrm d \mathbf r un desplazamiento elemental (infinitesimal) experimentado por la partícula durante un intervalo de tiempo \mathrm d t. Llamamos trabajo elemental, \mathrm d W, de la fuerza \mathbf F durante el desplazamiento elemental \mathrm d \mathbf r al producto escalar \ F \cdot \mathrm d \mathbf r; esto es,

\mathrm d W=\mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf r \,

Si representamos por \mathrm d s la longitud de arco (medido sobre la trayectoria de la partícula) en el desplazamiento elemental, esto es \mathrm d s = |\mathrm d \mathbf r| , entonces el vector tangente a la trayectoria viene dado por \mathbf e_{\text{t}} = \mathrm d \mathbf r / \mathrm d s y podemos escribir la expresión anterior en la forma

\mathrm d W=\mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf r = \mathbf F \cdot \mathbf e_{\text{t}} \mathrm d s = (F \cos\theta )\mathrm d s = F_{\text{s}} \mathrm d s \,

donde \theta representa el ángulo determinado por los vectores \mathrm d \mathbf F y \mathbf e_{\text{t}} y F_{\text{s}} es la componente de la fuerza F en la dirección del desplazamiento elemental \mathrm d \mathbf r.

El trabajo realizado por la fuerza \mathbf F durante un desplazamiento elemental de la partícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva, nula o negativa, según que el ángulo \theta sea agudo, recto u obtuso.

Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementales \mathrm d \mathbf r y el trabajo total realizado por la fuerza \mathbf F en ese desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea

W_{\text{AB}}=\int_{\text{A}}^{\text{B}} \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf r \,

Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilínea de \mathbf F a lo largo de la curva C que une los dos puntos; en otras palabras, por la circulación de \mathbf F sobre la curva C entre los puntos A y B. Así pues, el trabajo es una magnitud física escalar que dependerá en general de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que la fuerza \mathbf F sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultará ser independiente del camino seguido para ir del punto A al punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada. Así, podemos afirmar que el trabajo no es una variable de estado.

Casos particulares

Fuerza constante sobre una partícula

En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en módulo, dirección3 y sentido4 ), se tiene que

W_{\text{AB}}=\int_{\text{A}}^{\text{B}} \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf r = \mathbf F \cdot \int_{\text{A}}^{\text{B}} \mathrm d \mathbf r =\mathbf F \cdot \Delta \mathbf r = F s \cos \theta

es decir, el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posición inicial y la final. Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo sobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay desplazamiento, el trabajo también será nulo.

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado sobre ella, entonces \mathbf F representará al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.

Trabajo sobre un sólido rígido

Para el caso de un sólido el trabajo total sobre el mismo se calcula sumando las contribuciones sobre

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