El término número Complejo

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).

los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma

• Multiplicación

• Resta

• División

Suma de números Complejos:

El resultado es otro complejo que se obtendrá sumando respectivamente las partes reales e imaginarias de los complejos dados.

Ejemplo: (-3/4 + 5i) + (2 - 3i) = (-3/4 + 2) + (5i - 3i)

= 5/4 + 2i

• División de Complejos:

• Por un número Real:

Dará por resultado otro Complejo cuya parte Real e Imaginaria se obtendrá dividiendo el Complejo dado por dicho Real.

Ejemplo: (14 + 7i) /41 = (14/41) + (7i/41)

= 14/41 + 7/41i.

División de dos Complejos:

Ejemplo: 4+5i -3-4i -12 -16i -15i + 20i2

. =

-3+4i -3-4i 9+16

8 -31i

= 25

= 8/25 - 31/25i

Multiplicando las partes del complejo dado por dicho número real.

Ejemplo: (0,3 - 2/3i) .4 = (0,3 .4) + (-2/3i .4)

= 1,2 - 8/3i

Módulo y argumento

En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo φ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos φ al intervalo [-π, π) y a éste φ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

División:

Potenciación:

Representaciones alternativas de los números complejos

Otras representaciones, no tan frecuentes, de los números complejos, pueden darnos otra perspectiva de su naturaleza. La siguiente es una interpretación donde cada complejo se representa matricialmente, como una matriz de orden 2x2 con números reales como entradas que estiran y rotan los puntos del plano. Cada una de estas matrices tiene la forma

con números reales a y b. La suma y el producto de dos matrices queda de

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