Factoreo

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN.

a) Factor común monomio

1. Descomponer en factores a2 + 2a .

a2 y 2a contienen el factor común a . Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis ; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir

a 2= a = a y 2a - a = 2, y tendremos: a 2 + 2a = a(a + 2) . R .

2 . Descomponer l0b - 30ab2 .

Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10 .

Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común . De las letras, el único factor común es b porque está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b .

El factor común es 10b . Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro

ponemos los cocientes de dividir l0b/l0b=l

y -30ab2 –l0b=-3ab y tendremos : l0b - 30ab2 =10b(1- 3ab) . R .

b) Factor común polinomio

1 . Descomponer x(a + b) + m(a + b).

Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (a+ b) .

Escribo (a + b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común

(a + b), o sea :

x(a + b)/ (a + b) = X y m(a + b)/(a + b) = m y tendremos :

x(a+b)+m(a+b)=(a+b)(x+m) . R .

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

Ejemplo

1. Descomponer ax + bx + ay + by .

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últi- mos el factor común y . Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos

últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos :

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

=x(a+b)+y(a+b)

(x+y)(a+b) R.

2. Factorar 3m2 - 6mn + 4m - 8n

Los dos primeros términos tienen el factor común 3m y los últimos el factor común 4 Agrupando, tenemos :

3m2 - 6mn + 4m - 8n = (3m2 - 6mn)+(4m-8n)

=3m(m-2n)+4(m-2n)

= (3m+4)(m-2n) R.

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.

Así, 4a2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a .

En efecto : (2a)2 = 2a x 2a = 4a2 y 2a, que multiplicada por sí misma da 4a2, es la raíz cuadrada de 4a2 .

Obsérvese que (- 2a)2 = (- 2a) X (- 2a) = 4a- ; luego, - 2a

es también la raíz cuadrada de 4a2 .

Lo anterior nos dice que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene dos signos, + y -

REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero términos son cuadrados perfectos (o tienen raiz cuadrada exacta) y positivos . y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas .

Así, a 2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque :

Raíz cuadrada de a2 a

Raíz cuadrada de 4b 2b

Doble producto de estas raíces : 2 x a x 2b = 4ab, segundo término .

REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término .

El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se, eleva al cuadrado .

Ejemplos

1. Factorar m2+ 2m + 1

m2+2m+1 =(m+1)(m+1) = (m+1)2 .R

2. Descomponer 4x2 + 25y2 - 20xy.

Ordenando el trinomio, tenemos :

4x2 - 20xy + 25y2

2x 5y = (2x - 5y) (2x - 5y) = (2x-5y)2 .R

CASO I V

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades multiplicadas

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