Funciones Continuas

Funciones continuas

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Ejenplos

Funciones continuas

Continuidad de una función

Criterios de continuidad de una función en un número

Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial.

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).

Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la función es discontinua en el número a. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los ejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada.

S o l u c i o n e s

1. Solución:

x -4 0 2

f (x) -6 -2 0

f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión:

f es discontinua en -3.

2. Solución:

x -6 -1 0 2 3 5 6 9

h(x) -0.5 -1 -1.25 -2.5 -5 5 2.5 1

f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusón:

f es discontinua en 4.

3. Solución:

x -4 -3 -2 -1 0 8

y -0.5 -1 0 1 0.5 0.1

4. Solución:

x -6 -2 -1 0 1 2 6

y 0.025 0.125 0.2 0.25 0.2 0.125 0.025

5. Solución

Por lo tanto, f es discontinua en 0.

6. Solución:

7. Solución:

x ... ...

y ... -2 -1 0 1 2 ...

8. Solución:

9. Solución:

10. Solución:

11. Solución:

12. Solución:

13. Solución:

14. Solución:

15. Solución:

16. Solución:

17. Solución:

...