Posibles raíces de una función continua

Posibles raíces de una función continua.

Selene Amaranta Ramos Niño. Jenny Alejandra Sanabria Pérez.

Universidad Nacional de Colombia-Facultad de Ingeniería.

Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola. saramosn@unal.edu.co jasanabriap@unal.edu.co

Resumen— El proyecto a realizar, es un programa que ayuda a encontrar las posibles raíces de una función; en el cual el usuario debe ingresar el grado de la función, los coeficientes y el dominio en que será evaluada. Además, la función ingresada debe ser continua.

El programa encontrará un punto dentro del intervalo del dominio, en donde su imagen sea cero. Como resultado se obtendrá el valor en x, tal que f(x) sea igual a 0.

Palabras clave- teorema de Bolzano, función continua, raíz de una función, Lenguaje C++, límite de una función, dominio y rango de una función.

Abstrac-The project to be realized, is a program that helps to find the possible roots of a function; In which the user must enter the degree of the function, the coefficients and the domain in which it will be evaluated. In addition, the input function must be continuous.

The program will find a point within the range of the domain, where its image is zero. As a result, we obtain the value at x, such that f (x) is equal to 0.

Keywords - Bolzano's theorem, continuous function, root of a function, C ++ language, limit of a function, domain and range of a function.

1. INTRODUCCIÓN[pic 2]

l uso de las funciones en la vida cotidiana de un estudiante es frecuente, ya que estas representan el comportamiento de alguna situación de la vida real. Por ello, este programa

elaborado en lenguaje C++, es una herramienta que ayuda a determinar las posibles raíces de una función, es decir identificar en qué valor o valores de su dominio tiene como resultado cero al ser evaluada; de esta forma se puede entender el comportamiento que toma dicha función según el contexto en el que sea aplicada. Lo anterior se conoce a partir de las ecuaciones ingresadas por el usuario.

III. MARCO TEÓRICO

El programa a realizar está basado en el siguiente teorema, Teorema del cero, Bisección o de Bolzano:

Si ƒ(x) es continua en [a,b] y ƒ(a) < 0< ƒ(b) entonces, existe algún valor x de (a,b) tal que ƒ(x)=0. Es decir, si una función es continua en un intervalo cerrado y toma valores de signo

opuesto en los extremos del intervalo dicha función debe anularse por lo menos en un punto dentro del intervalo.

Este teorema nos garantiza la existencia de una solución pero no nos dice cuál es.

Para hacer uso de este teorema es indispensable que la  función a evaluar sea continua, por ello deben cumplirse estos tres casos:

1. Existir el limite cuando x→a.

1. Estar definida en ƒ(a).

1. El limite cuando x→a y ƒ(a) sean iguales. [1]

1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

Algunas funciones no son fáciles de evaluar y por tanto encontrar sus raíces. Es necesario recurrir a métodos especializados, en este caso el Teorema de Bolzano también conocido como el Teorema del Cero, o Bisección; que permitan encontrar las raíces de una ecuación, es decir, los valores donde ƒ(x)=0 para poder definir el comportamiento de la función evaluada, sus puntos máximos y mínimos, y con ellos optimizar algún proceso.

Fig. 1. Ejemplo de una función continua. [2][pic 3][pic 4]

Operación del teorema:

En una función continua, definida en un intervalo [a,b]; se deben tomar dos puntos cuya imagen tenga diferente signo, a

partir de estos se halla el punto medio con la siguiente ecuación:[pic 5]

[pic 6]

Fig 2. Fórmula punto medio. [3]

A continuación se evalúa la función en este punto y de acuerdo a su resultado se toma un nuevo valor con el cual  debe obtenerse un otro punto medio que al reemplazarse en la función se acerque cada vez más al cero. El proceso se repetirá cuantas veces sea necesario hasta acercarse lo más posible al cero.

Ejemplo del teorema:

Consideremos la función ƒ(x)= x3+x-1. Esta función es continua en ℛ y en particular [0,1], ya que es una función polinómica. Como ƒ(0)=-1 < 0 < ƒ(1)= 1 entonces, por el Teorema de Bolzano existe un número c, [0,1] tal que ƒ(c)=0; además, sabemos que c ∈ a (0,1) y dicho c es una solución de x3+x-1.

Para hallar una aproximación de c debemos encontrar el punto medio del intervalo, luego evaluar la función en éste y dependiendo de su signo tomar un nuevo intervalo en el cual las imágenes tengan signos opuestos. Este proceso se repite tantas veces sea necesario para aproximarse a 0.

estadísticas. Con él es posible determinar la solución de funciones, limites, derivadas, integrales y demás procesos matemáticos ingresados por el usuario. [7]

• Online MSchool: Sitio web en el que se encuentra una calculadora que ayuda a resolver problemas matemáticos dando una solución completa y detallada. [8]

• Matlab: Programa de computación para el desarrollo de proyectos en los que sea necesario realizar cálculos matemáticos con cierto grado de dificultad. Este programa permite la visualización gráfica de los mismos, así como sus soluciones. Es usado para realizar cálculos técnicos. Además, cuenta con programas especializados que aumentan las funciones de éste como es el caso de los procesos de imágenes, señal, control, estadística, identificación de sistemas y simulación de sistemas dinámicos. [9]

• XFunc: Software gratuito de matemáticas para computador, que resuelve fácilmente problemas matemáticos. Aquí, el usuario ingresa el tipo de ecuación a resolver y el software muestra su solución. [10]

• Microsoft Mathematics: Software educativo diseñado para ayudar a los estudiantes en el desarrollo de problemas matemáticos, cuenta con una calculadora gráfica, solucionador de triángulos, biblioteca de fórmulas y ecuaciones y un solucionador que muestra el proceso paso a paso. [11]

[pic 7]

V. ALGORITMO[pic 8]

1. Inicio.

[pic 9]        [pic 10]

[pic 11][pic 12][pic 13]

Dicho de otra forma:

ƒ(1/2)= -0.375 < 0 < ƒ(1)=1 entonces, c ∈ (1/2,1)

ƒ(1/2)= -0.375 < 0 < ƒ(3/4)= 0.17185 entonces, c ∈ (1/2 , 3/4) ƒ(5/8)=0.13085 < 0 < ƒ(3/4)= 0.17185 entonces, c ∈ (5/8 , 3/4) [4]

IV. ESTADO DEL ARTE

En la actualidad existen diferentes aplicaciones y sitios web, que facilitan la solución de funciones, como los siguientes:

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