Teoremas fundamentales sobre funciones continuas y derivables de una variable

TEMA 4. Teoremas fundamentales sobre funciones continuas y derivables de una variable

1. Teorema de Bolzano y sus consecuencias

entoncesTeorema existe (de  cBolzano). ∈ (a, b) tal  queSi f f (: c[)a, = b ]0 .→ R es una funcio´n continua y f(a)f(b) < 0 [pic 1]

Ejemplo. Probar que la funci´on  tiene al menos un cero en el intervalo [0,1]. Acotar dicho cero en un intervalo de longitud 1/4.

Soluci´on: Observemos que la funci´on f(x) es continua en [0,1] por ser un cociente de funciones continuas donde el denominador no se anula ya que

        cos(πx) ≥ −1        ⇒        2 + cos(πx) ≥ 2 + (−1) = 1 > 0.

Adema´s se tiene

        f(0) = 1/3 > 0,        f(1) = −1 < 0

por lo que el teorema de Bolzano asegura que f tiene al menos un cero en ese intervalo. Calculamos f(1/2) y tenemos

[pic 2]

por lo que debemos tener un cero en [1/2,1]. Tomando otra vez el punto medio de este intervalo se tiene

[pic 3],

lo que prueba que hay un cero de f en [1/2,3/4].

Corolario. Sea I un intervalo y sea f : I → R una funcio´n continua. Si f(x) 6= 0 para todo x ∈ I entonces el signo de f en I es constante.

Observacio´n. Si queremos estudiar el signo de una funci´on f : I → R, donde I es un intervalo, basta dividir I en los subintervalos abiertos cuyos extremos son o ceros o discontinuidades de la funci´on. En virtud del corolario anterior, en cada uno de esos subintervalos f(x) deber´a tener signo constante por lo que ser´a suficiente comprobar el valor de f en un punto del subintervalo para saber el signo en todo ese subintervalo. Ejemplo. Estudiar el signo de la funci´on f : R → R definida por

[pic 4]        si x < 0 [pic 5]        si 0 ≤ x < 3π/2

        [pic 6]1        si x ≥ 3π/2.

Soluci´on: Miramos primero los puntos de discontinuidad de f. La funci´on es continua en 0 ya que

[pic 7].

El punto 3π/2, sin embargo, s´ı es un punto de discontinuidad de f ya que

[pic 8]

La funci´on x3 − 2x2 − 3x = x(x − 3)(x + 1) solo se anula en el intervalo (−∞,0) en el punto −1. La funci´on [pic 9]− 2 se anula en el intervalo [0,3π/2) en los puntos 0 y π. Y la

funci´onconstante en cada uno de los siguientes subintervalos dex − 1 no se anula en el intervalo (3π/2,∞). En consecuencia, el signo deR:        f ser´a

        (−∞,−1),        (−1,0),        (0,π),        (π,3π/2),        (3π/2,∞).

Estudiamos cada caso:

• (−∞,−1):

Elegimos un punto cualquiera del intervalo, por ejemplo −2 ∈ (−∞,−1). Como f(−2) = −10 < 0, se tiene

        f(x) < 0,        ∀ x ∈ (−∞,−1).

• (−1,0):

En −1/2 ∈ (−1,0) tenemos que f(−1/2) = 7/8 > 0 y, por tanto,

        f(x) > 0,        ∀ x ∈ (−1,0).

• (0,π):

Para π/2 ∈ (0,π) se tiene que f(π/2) = −2/(3π) < 0. En consecuencia,

        f(x) < 0,        ∀ x ∈ (0,π).

• (π,3π/2):        ∈        √

[pic 10]

        En el punto 5π/4        (π,3π/2) se cumple que f(5π/4) = 2        2/(3π) > 0. As´ı,

        f(x) > 0,        ∀ x ∈ (π,3π/2).

• (3π/2,∞):

En el punto 8 ∈ (3π/2,∞) se cumple que f(8) = 7 > 0, lo que implica que

        f(x) > 0,        ∀ x ∈ (3π/2,∞).

1. El teorema de Rolle y sus consecuencias. Teoremas del valor medio

Teorema (de Rolle). Sea f : [a,b] → R una funcio´n continua en′ [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a) = f(b) entonces existe c ∈ (a,b) tal que f (c) = 0.

Corolario (Separacio´n de ceros).′ Si f : [a,b] → R es una funcio´n continua en [a,b] y derivable en (a,b) y f (x) = 06 para todo x ∈ (a,b) entonces f a lo sumo tiene un cero en

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