Histora De Las Matematicas

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Matemáticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las

operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las

magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización

de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a

considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones

necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste

en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en

definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y

teoremas más complejos.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico.

En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños

prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del

sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos

estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta

evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5

y 10.

Las matemáticas en la antigüedad

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C.,

en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés

en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas

o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de

numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…),

similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el

símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces

como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por

separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estaba

basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (:), junto con la fracción , para expresar

todas las fracciones. Por ejemplo,  era la suma de las fracciones  y . Utilizando este sistema,

los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como

problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular

el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros

y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un

cuadrado de lado . del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la

constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se

utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña

sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (véase tabla

adjunta). Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un

proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba

con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su

posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2,

seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este

mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemplo

anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (\), o 2 + 27 × (\) + 10 × (\)-2. Este

sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base

10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les

permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron

incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron

problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una

gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas

de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de

algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena

aproximación de f.

Las matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La

innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una

estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este

avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último

enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus

discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que

se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista

Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una

pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de

media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este

descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir

un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que

tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo

(construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas

fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la

regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente

que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos

básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud

capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es

inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea

igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números

naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el

lado de un cuadrado (este número, f, es lo que hoy se denomina número irracional). Debido a

este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se

tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el

matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides.

Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y

volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también

escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus

Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV

a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la

teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y

volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se

puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo,

Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de

secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes

de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de

Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin

embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes.

También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en

agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del

cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y

estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base

...