Historia De La Derivada

LA DERIVADA, EL LENGUAJE DEL MOVIMIENTO

Galileo, al describir por vez primera una función que relacionaba el espacio y el tiempo en la caída de los cuerpos, había dejado abierta la necesidad del Cálculo Diferencial; el cálculo con derivadas.

La derivada, en general, expresa el ritmo de cambio instantáneo en cualquier fenómeno funcional.

Pero, cuando se trata de cuerpos en movimiento, esta interpretación es especialmente precisa e interesante. De hecho, históricamente fue la que dio origen al estudio de las derivadas.

U En cualquier movimiento, el espacio recorrido s es función del tiempo transcurrido: s = s (t)

La tasa de variación entre dos instantes t = a y t = b es el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo: s (b) – s (a)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como velocidad media:

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la velocidad instantánea:

A este límite se le llama derivada. Es decir: la velocidad instantánea en un momento dado, es la derivada del espacio como función del tiempo en ese momento:

Vi (a) = s’(a)

U A su vez, la velocidad cambia a lo largo del tiempo, también es función del tiempo: vi (t) = s’(t)

La tasa de variación entre dos instantes t = a y t = b es la aceleración experimentada en ese intervalo de tiempo:

A a , b = Vi (b) – Vi (a) = s’ (b) – s’ (a)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como aceleración media:

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la aceleración instantánea:

Es decir: la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad como función del tiempo en un momento dado. Y por ser derivada de una derivada, se dice que es la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo en ese momento:

Ai (a) = Vi’ (a) = [ s’]’(a) = s”(a)

Ejemplo.- Un movimiento viene dado por la siguiente ecuación: s (t) = 2t2 – 5. Vamos a calcular la velocidad instantánea cuando t = 1 seg.

En este ejemplo, para calcular la derivada no vamos a usar tablas de valores, sino que razonaremos con expresiones algebraicas. Además, al intervalo de tiempo [1 , b] lo llamaremos [1 , 1 + h]. Será lo mismo

...